От принципа идеализации к асимптотологии

Ключевое понятие западной науки — принцип идеализации. Любая реальная система или явление состоят из большого (часто бесконечного) количества подсистем или менее значимых явлений. Попытка описать их во всей совокупности заведомо безнадежна. Есть разные способы справиться с этой трудностью. Например, религия: все является проявлением действия неких высших сил, замысел которых нам недоступен по определению, при этом в высшем замысле одинаково важно все. Однако такой подход ничего не дает для практической деятельности, поскольку позволяет только описывать явления, но не предсказывать их. Предсказаниями занимается наука, которая начинается с идеализации.

В создании приема идеализации основная заслуга принадлежит Галилею. Классики умели писать (может быть, верно и обратное — те, кто не умели писать, не стали классиками). Вот как описал Галилей суть науки, которую мы теперь называем физикой: «Белое или красное, горькое или сладкое, звучащее или безмолвное, приятно или дурно пахнущее — все это лишь названия для различных воздействий на наши органы чувств. Никогда не стану я от внешних тел требовать чего-либо иного, чем величина, фигура, качество и более или менее быстрые движения для того, чтобы объяснить возникновение ощущений вкуса, запаха и звука; я думаю, что если бы мы устранили уши, языки, носы, то остались бы только фигуры, числа, движения, но не запахи, вкусы и звуки, которые, по моему мнению, вне живого существа являются не чем иным, как только пустыми именами».

А вот как Галилей смог исследовать движение тел: «Дабы рассмотреть этот вопрос научно, следует отбросить все указанные трудности (сопротивление воздуха, трение и т.д.) и, сформулировав и доказав теоремы для случая, когда сопротивление отсутствует, применять их с теми ограничениями, какие подсказывает нам опыт».

Это и есть начало науки. О нетривиальное™ подобного шага говорит следующее. Наука — изобретение Запада. Восток, которым так принято сейчас восхищаться, науки не создал. Для Китая, в котором якобы было открыто все на свете, или для Японии, которую нам подарил Акунин, идеализация абсолютно чужда. Сейчас, конечно, китайцы и японцы отлично понимают пользу научного взгляда на мир, но на философской базе Востока наука возникнуть не смогла. (Я не обсуждаю здесь вопрос о том, хорошо или плохо само по себе появление западной науки, не заведет ли она человечество в экологический или иной тупик, а только отмечаю факт: наука есть порождение западной цивилизации. Она появилась совсем недавно, и это лишь один из возможных, но совсем не обязательных путей развития человечества.)

Отсюда, кстати, ясно, что принцип идеализации не входит в число врожденных понятий человека, ему нужно учить. Боюсь, что как в средней, так и в высшей школе не обращается достаточного внимания на действительно базовые вещи, к которым принадлежит и принцип идеализации. Замечательный физик Л.И.Мандельштам много лет назад настаивал: «Вопросы идеализации должны занимать фундаментальное место во всяком преподавании физики — как в школьном, так и в университетском. Уже школьник должен сознавать, что в любой физической теории мы работаем с идеальными моделями реальных вещей и процессов».

Еще раз удивимся гению Галилея, ведь «Метод идеализации уводит нас от реальности, но, как ни парадоксально, именно этот шаг позволяет нам приблизиться к реальности в большей степени, чем учет всех имеющихся факторов» (М. Клайн). Однако метод идеализации далеко не всемогущ. Перечитаем Галилея: «...применять с теми ограничениями, какие подсказывает нам опыт», «отбросить. сопротивление воздуха, трение и т.д.» А если мы как раз хотим учесть эти факторы? Ведь неучет сопротивления воздуха не позволит нам, скажем, метко стрелять из пушек и, значит, эффективно решать основную задачу человечества — уничтожение себе подобных. Умные головы заработали, и появился метод возмущений. Дадим слово еще одному гению, П.С.Лапласу: «Самый простой способ анализа различных возмущений (в движении планет. — И.А.) заключается в том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся по эллипсу, элементы которого плавно изменяются, и одновременно представить себе, что настоящая планета колеблется вокруг этой воображаемой линии по очень малой траектории, свойства которой зависят от ее периодических возмущений».

Далее стало понятно, что процесс уточнения можно продолжать. Появился термин «асимптотика». Вспомним, что в школьном курсе математики мы встречались с «асимптотами» — прямыми, бесконечно близко приближающимися к некоторым кривым, когда независимая переменная х стремится к бесконечности, но не совпадающими с этими кривыми. Иными словами, начиная с некоторых значений х кривые можно заменить асимптотами, и такое приближение будет тем точнее, чем больше х. Аналогично асимптотические формулы описывают данное явление тем точнее, чем меньше (или больше) становятся некоторые параметры. При этом метод идеализации дает решение в предельных случаях, когда эти параметры в точности равны нулю (или бесконечности). Поиск и использование подобных параметров и составляют одну из главных задач науки.

Один из отцов асимптотической математики, А.Пуанкаре, писал: «Ученые искали их в двух крайних областях: в области бесконечно большого и в области бесконечно малого. Их нашел астроном, ибо расстояния между светилами громадны, настолько громадны, что каждое из светил представляется только точкой; настолько громадны, что качественные различия сглаживаются, ибо точка проще, чем тело, которое имеет форму и качество. Напротив, физик искал элементарное явление, мысленно разделяя тело на бесконечно малые кубики, ибо условия задачи, которые испытывают медленные непрерывные изменения, когда мы переходим от одной точки тела к другой, могут рассматриваться как постоянные в пределах каждого из этих кубиков».

Развитие асимптотической математики привело к пониманию того, что «асимптотическое описание является не только удобным инструментом математического анализа природы, оно имеет фундаментальное значение» (К.Фридрихс). В итоге М.Крускал предложил говорить о новой науке — асимптотологии. Дать определение асимптотологии, очертить ее рамки и пределы применимости (как и любой науки) непросто. Универсальным, конечно, является определение: «Асимптотология есть то, что под ней понимают люди компетентные» (вспомним «Физики шутят»), но как быть людям некомпетентным? Р.Г.Баранцев предложил использовать для описания асимптотологии триаду «точность — локальность — простота». Иными словами, антагонистический конфликт «точность — простота» разрешается через «локальность» — простые асимптотические модели верны лишь в некотором диапазоне изменения параметров. Асимптотология как отдельная наука находится в процессе становления. «Другим наукам — лет по сто, история — пастью гроба, а моя асимптотология — подросток, твори, выдумывай, пробуй!» (Простите, Владимир Владимирович...)

Таким образом, в науке нужно знать, чем можно пренебречь — и как учесть влияние отброшенного! «Если бы в Природе не существовало больших или малых параметров, вся наука свелась бы к утомительному перечислению всего на свете» (L.N. Trefethen).

Однако является ли современная Наука, добившаяся столь поразительных успехов, последним словом в описании Природы? Создатель понятия «стресс» Г.Селье остро поставил проблему: «Классическое искусство, подобно фотографии, настаивало на принципе детального изображения, в то время как современное искусство стремится, абстрагируясь от деталей, оперировать символами, подчеркивая таким образом самое существенное в предмете. Оба эти принципа представлены в науке. Современная мода, несомненно, отдает предпочтение проникновению в глубь предмета, наращивая степень точности используемых инструментов. Этот метод чрезвычайно эффективен, но в безудержной погоне за деталями можно потерять из виду целое».

Сейчас, по-видимому, наступает время синтеза, время наук, претендующих на общий взгляд на мир («Ветер с Востока!»). Одно время казалось, что такой наукой станет кибернетика, но безжалостные судьи — время и практика — показали необоснованность ее претензий. Однако свято место пусто не бывает, и сейчас проходит проверку на прочность синергетика, изучающая явления самоорганизации. Синергетические эффекты известны давно, но лишь недавно появился адекватный математический аппарат, позволяющий описывать эти явления. Дело в том, что эти эффекты имеют существенно нелинейный характер, и идущая сейчас «нелинейная революция», то есть революционные изменения в методах решения нелинейных задач, позволили синергетике сделать весомую заявку на право существования (конечно, окончательный судья здесь — время). Сама по себе нелинейная революция тесно связана с асимптотологией, но — не будем увлекаться.

Георгий Малинецкий