8. Теоремы о средних значениях и дисперсиях
8. Теоремы о средних значениях и дисперсиях
Теоремы о средних значениях и дисперсиях дают представление о том, как себя поведут средние значения и дисперсии при объединении нескольких выборок, у каждой из которых есть свое средневзвешенное значение случайной величины.
Пусть объемы N1, N2, ... ,Nk, которые имеют соответствующие средневзвешенные х1, x2, …, xk, объединены в одно.
Теорема 1. Математическое ожидание (среднее значение) суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий (средних значений).
То есть математическое ожидание суммы
![](https://storage.yandexcloud.net/wr4img/165835_8_i_020.png)
точно так же себя ведет дисперсия.
Теорема 2. Дисперсия объединенной выборки S2 равна средневзвешенной из дисперсий отдельной выборки, сложенной с дисперсией средних xi частных выборок, т. е. если дисперсии S12,S22, …,Sk2 ? принадлежат выборкам N1, N2, ... ,Nk, то в случае объединения этих выборок общая дисперсия
Очевидно, что объемы N1, N2, Nkобъединены в одну выборку с соответствующими дисперсиями
S12,S22, …,Sk2
Вторым слагаемым является дисперсия средних xi частных выборок около среднего объединенной выборки х. Поэтому очевидно, что
![](https://storage.yandexcloud.net/wr4img/165835_8_i_022.png)
то второе слагаемое тоже равнялось бы нулю. В таком случае
![](https://storage.yandexcloud.net/wr4img/165835_8_i_023.png)
где S2 – средневзвешенная из дисперсий исходных выборок.
Таким образом, дисперсия суммы (или разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
В общем случае,
![](https://storage.yandexcloud.net/wr4img/165835_8_i_024.png)
Данный текст является ознакомительным фрагментом.