4.8. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

4.8. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В самом общем случае при учете всех физических факторов математическая модель реального устройства всегда будет состоять из системы нелинейных уравнений. Современное состояние разработки в математике методов решения системы нелинейных уравнений таково, что имеется весьма узкий круг решаемых уравнений с ограниченными возможностями исследования их свойств. По этой причине в ТЭ раздел нелинейных цепей является наименее полным в смысле набора средств и методов нахождения аналитических решений. Однако именно в нелинейных электрических цепях наиболее полно проявляются их особые свойства: полезные, которые следует использовать, или нежелательные, которых следует избегать.

В области ТЭ особенно важным разделом теории нелинейных электрических цепей является обоснованное выделение тех явлений, без учета которых исследуемый процесс теряет свои важнейшие свойства. Такими свойствами реальных элементов электрической цепи являются зависимость параметров (сопротивления, индуктивности, емкости) этих элементов от значения или направления приложенного к ним напряжения или протекающего по ним тока, возникшая в связи с практическим применением нелинейных и вентильных элементов в радиотехнике. Теория нелинейных электрических цепей необходима для решения современных задач проектирования систем, где нелинейные свойства приобретают важное положительное значение. В качестве примера можно сослаться на многочисленные практические приложения систем, содержащих катушки с ферромагнитным сердечником. В этой области исследования советских ученых имели первостепенное значение. Следует особо отметить исследования в области феррорезонансных явлений. Первые наблюдения этих явлений и их анализ были выполнены заведующим кафедрой теоретических основ электротехники Ленинградского политехнического института учеником В.Ф. Миткевича Павлом Лазаревичем Калантаровым (1892–1951 гг.), автором одного из наиболее распространенных учебников по ТОЭ (в соавторстве с Л.Р. Нейманом). Впоследствии эти исследования были продолжены в области феррорезонансных стабилизаторов напряжения профессором этой кафедры А.Г. Лурье, а в области феррорезонансных явлений в электроэнергетических системах чл.-корр. АН Узбекистана Г.Р. Рахимовым. Использование особых свойств индуктивных катушек с ферромагнитными сердечниками, где при токах звуковой частоты имеет место явление магнитострикции и механического резонанса, поставило задачи создания их математических моделей и конструирования соответствующих электротехнических устройств, решенные И.Ф. Кузнецовым и В.И. Радиным.

Особые свойства нелинейных электрических цепей, содержащих ферромагнитные сердечники, такие, как возможность усиления, стабилизации, генерации колебаний и др., основывались на открытой еще А.Г. Столетовым зависимости магнитной проницаемости ферромагнитных сердечников от магнитной индукции. Так, например, подмагничивая ферромагнитные сердечники током в дополнительной обмотке, можно изменять магнитное сопротивление индуктивных катушек, содержащих такие сердечники. Электрическое сопротивление таких катушек переменному току пропорционально магнитной проницаемости сердечника, которая может быть изменена при помощи изменения тока подмагничивания в другой катушке, навитой на этот же сердечник. В многочисленных устройствах наряду с этой особенностью магнитных систем, содержащих ферромагнитные сердечники, использовались новые возможности таких систем при наличии обратной связи. На этой основе в послевоенные годы были разработаны магнитные усилители и их теория. Существенную роль в развитии теории нелинейных цепей, содержащих индуктивные катушки с ферромагнитными сердечниками, разработке специальных видов магнитных усилителей в релейном и генераторном режимах их работы, особых видов релаксационных колебаний в цепях, исследовании свойств ферромагнитных материалов и теории чувствительности сыграли научные работы, проведенные заведующим кафедрой ТОЭ Московского энергетического института К.М. Поливановым (1904–1983 гг.) и представителями его школы (В.Е. Боголюбов, Ю.М. Шамаев, А.И. Пирогов и др.). Важное значение имели разработки математических моделей катушек с ферромагнитными сердечниками и методов расчета цепей с такими элементами с учетом гистерезисных явлений (Ф. Прейсач, О. Бенда, Л.А. Бессонов, Э. Торре). Нелинейные свойства полупроводниковых триодов в режиме большого сигнала были учтены в модели этих приборов, разработанной Дж. Эберсом, Дж. Моллом в 1954 г.

В развитие теории цепей, содержащих вентильные элементы, большой вклад внесли Н.П. Папалекси, Л.Р. Нейман, В.Г. Комар, Ю.Г. Толстое, СР. Глинтерник, А.А. Янко-Триницкий и др. Особо важное значение приобрели методы расчета таких цепей в связи с созданием сверхдальних передач энергии по высоковольтным линиям электропередачи постоянного тока и широким внедрением в практику преобразователей частоты для увеличения эффективности использования энергии ЭМП.

В теорию электрических цепей нелинейные элементы внесли новые проблемы, связанные с такими явлениями, как устойчивость процессов, колебательность режимов в отсутствие обратных связей, существование хаотических процессов. В разработку математических моделей нелинейных цепей, учитывающих возможность существования таких явлений, и соответствующего математического аппарата большой вклад внесли отечественные ученые A.M. Ляпунов, И.А. Вышнеградский, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин, Л.С. Понтрягин, Б.В. Булгаков, Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов, Л.Р. Нейман и др. В ТЭ эти работы нашли применение в многочисленных прикладных разработках. В этой связи следует отметить исследование проблем устойчивости режимов работы ЕЭС СССР, содержащей линию передачи постоянного тока с нелинейными элементами (полупроводниковыми преобразователями частоты), проведенное Л.Р. Нейманом и его учениками.

В настоящее время отсутствует идея объединения решений для отдельных типов нелинейных цепей в общую теорию нелинейных электрических цепей. Помимо графических и графоаналитических методов для расчета и анализа установившихся режимов наиболее распространены следующие приближенные методы: метод возмущений (А. Пуанкаре), пригодный для нелинейных цепей, где нелинейные свойства могут быть привязаны к некоторому малому параметру; медленно меняющихся амплитуд (метод усреднений), пригодный для цепей с малыми нелинейными параметрами (Б. Ван-дер-Поль, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов). Приближенным является и метод гармонической линеаризации (Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов), в котором допускается существование режимов на частоте основной гармоники, воздействующей на цепь функции. Еще более ограниченными являются методы решения переходных процессов в нелинейных цепях. В расчетах цепей, где нелинейные зависимости могут быть представлены как совокупность ломаных линий, применяется метод, основанный на возможности рассматривать цепь как линейную в интервале времени, в течение которого параметры элементов цепи являются постоянными.

Этот метод нашел широкое применение для расчета нелинейных цепей с тиристорами. Интересны исследования возможностей использования рядов Волтерра — Пикара для расчета нелинейных цепей, проведенные Л.В. Даниловым и Е. Филипповым. Другим, но уже универсальным методом является численное решение конечно-разностного аналога нелинейных дифференциальных уравнений, который нашел широкое применение в связи с использованием ЭВМ. История развития раздела дифференциальных уравнений классической математики за последние почти 50 лет показывает, что перспективы обобщения различных подходов весьма туманны, и по этой причине наиболее динамично развиваются методы решений с использованием вычислительных машин.