Модельные уравнения

О системах можно многое узнать, не используя компьютер. Однако стоит только начать изучать поведение даже очень простых систем, как может возникнуть желание узнать побольше о создании собственных формальных математических моделей систем. Модели, о которых рассказано в этой книге, изначально создавались с помощью программного обеспечения STELLA, разработанного компанией isee systems (ранее High Performance Systems). Уравнения в этом разделе записаны так, чтобы их можно было без труда перевести в программные средства для моделирования, такие как Vensim (Ventana Systems), STELLA или iThink (isee systems).

Приведенные модельные уравнения использовались для создания девяти динамических моделей, описанных в главе 1 и главе 2. «Преобразователи» могут быть константами или рассчитываться на основе других элементов модели системы. Время обозначается буквой t, а промежуток времени от одного вычисления до следующего — dt. 

Глава 1 

Уровень воды в ванне (к рис. 5, рис. 6 и рис. 7)

Запас: вода в ванне (t) = вода в ванне (t – dt) + (входящий поток – исходящий поток) ? dt.

Начальное значение запаса: вода в ванне = 50 л.

t = мин.;

dt = 1 мин.

Время = 10 мин.

Входящий поток: входящий поток = 0 л/мин. за время с 0 до 5 мин.;

5 л/мин. за время с 6 до 10 мин.;

Исходящий поток: исходящий поток = 5 л/мин. 

Охлаждение или нагрев чашки кофе (к рис. 10 и рис. 11) 

Охлаждение

Запас: температура кофе (t) = температура кофе (t – dt) – (охлаждение ? dt).

Начальное значение запаса: температура кофе = 100 °C, 80 °C и 60 °C — для трех разных моделируемых экспериментов.

t = мин.;

dt = 1 мин.

Время остывания = 8 мин.

Исходящий поток: остывание = разность температур ? 10%.

Преобразователи: разность температур = температура кофе – температура воздуха в помещении;

температура воздуха в помещении = 18 °C. 

Нагрев

Запас: температура кофе (t) = температура кофе (t – dt) + (нагрев ? dt).

Начальное значение запаса: температура кофе = 0 °C, 5 °C и 10 °C — для трех разных моделируемых экспериментов.

t = мин.;

dt = 1 мин.

Время нагрева = 8 мин.

Входящий поток: нагрев = разность температур ? 10%.

Преобразователи: разность температур = температура воздуха в помещении – температура кофе;

температура воздуха в помещении = 18 °C. 

Банковский счет (к рис. 12 и рис. 13)

Запас: сумма на банковском счете (t) = сумма на банковском счете (t – dt) + (начисленные проценты ? dt).

Начальное значение запаса: сумма на банковском счете = 100 долл.

t = годы;

dt = 1 год.

Время накопления = 12 лет.

Входящий поток: начисленные проценты (долл./год) = сумма на банковском счете ? процентная ставка.

Преобразователи: процентная ставка = 2%, 4%, 6%, 8% и 10% годовых — для пяти разных вариантов. 

Глава 2

Термостат (к рис. 14, рис. 15, рис. 16, рис. 17, рис. 18, рис. 19, рис. 20)

Запас: температура в помещении (t) = температура в помещении (t – dt) + (тепло от обогревателя – тепло, выходящее наружу) ? dt.

Начальное значение запаса:

температура в помещении = 10 °C (обогрев холодного помещения);

температура в помещении = 18 °C (охлаждение теплого помещения).

t = часы;

dt = 1 ч.

Время работы термостата = 8 ч., 24 ч.

Входящий поток: тепло от обогревателя = минимальное от разницы между желаемой и фактической температурой в комнате или 5 °C.

Исходящий поток: тепло, выходящее наружу = расхождение между температурой внутри и снаружи ? 10% (для дома с хорошей изоляцией);

тепло, выходящее наружу = разница между температурой внутри и снаружи ? 30% (для дома с плохой изоляцией).

Преобразователи: настройка термостата = 18 °C.

Разница между желаемой и фактической температурой в помещении = максимум от (установка термостата – температура в помещении) или 0.

Разница между температурой внутри и снаружи = комнатная температура – 10 °C (при постоянной температуре снаружи (рис. 16, рис. 17, рис. 18).

Разница между температурой внутри и снаружи = комнатная температура – температура снаружи в течение 24 часов (рис. 19 и рис. 20).

Изменение температуры снаружи показано на рисунке.

Изменение температуры снаружи — от 10 °C днем до –5 °C ночью в течение 24 часов 

Численность населения (к рис. 21, рис. 22, рис. 23, рис. 24, рис. 25, рис. 26)

Запас: численность населения (t) = численность населения (t – dt) + (рождаемость – смертность) ? dt.

Начальное значение запаса: численность населения = 6,6 млрд человек.

t = годы;

dt = 1 год.

Период времени, на который делается расчет = 100 лет.

Входящий поток: рождаемость = численность населения ? коэффициент рождаемости.

Исходящий поток: смертность = численность населения ? коэффициент смертности.

Преобразователи:

Рис. 22:

коэффициент смертности = 0,009 (9 смертей на 1000 человек);

коэффициент рождаемости = 0,021 (21 рождение на 1000 человек).

Рис. 23:

коэффициент смертности = 0,030;

коэффициент рождаемости = 0,021.

Рис. 24:

коэффициент смертности = 0,009;

коэффициент рождаемости = сначала 0,021, затем падает до 0,009, как показано на графике ниже.

Изменение коэффициента рождаемости (к рис. 24)

Рис. 26:

коэффициент смертности = 0,009;

коэффициент рождаемости = сначала 0,21, падает до 0,009, но затем повышается до 0,30, как показано на графике ниже.

Изменение коэффициента рождаемости (к рис. 26) 

Капитал (к рис. 27 и рис. 28)

Запас: капитал (t) = капитал (t – dt) + (инвестиции – амортизация) ? dt.

Начальное значение запаса: капитал = 100.

t = годы;

dt = 1 год.

Период времени, на который делается расчет = 50 лет.

Входящий поток: инвестиции = годовой объем производства ? доля инвестиций.

Исходящий поток: амортизация = капитал / продолжительность жизни капитала.

Преобразователи:

годовой объем производства = капитал ? объем производства на единицу капитала;

продолжительность жизни капитала = 10, 15 и 20 лет — для трех разных вариантов моделей;

доля инвестиций = 20%;

объем производства на единицу капитала = 1/3. 

Коммерческие товарные запасы автомобилей на складе (к рис. 29, рис. 30, рис. 31, рис. 32, рис. 33, рис. 34, рис. 35, рис. 36)

Запас: количество автомобилей на складе завода (t) = количество автомобилей на складе завода (t – dt) + (поставки – продажи) ? dt.

Начальное значение запаса: количество автомобилей на складе у дилера = 200 шт.;

t = дни;

dt = 1 день.

Период времени, на который делается расчет = 100 дней.

Входящие потоки: поставки от производителя = 20 (за время от 0 до 5 дней);

заказ производителю = t – задержка доставки (время от 6 до 100 дней).

Исходящие потоки: продажи = минимальное значение или запаса автомобилей на складе у дилера или потребительского спроса.

Преобразователи:

потребительский спрос = 20 автомобилей в день (за время с 0-го по 25-й день);

t = 22 автомобиля в день (за время с 26-го по 100-й день);

ожидаемые продажи = среднее значение продаж за время задержки восприятия;

желаемый запас на складе = ожидаемые продажи ? 10%;

расхождение = желаемое количество на складе – количество автомобилей у дилера;

заказ производителю = максимальное значение от ожидаемых продаж + расхождение или 0 для рис. 32;

заказ производителю = максимальное значение от ожидаемых продаж + расхождение / задержка отклика) или 0 для рис. 34, рис. 35, рис. 36.

Запаздывания:

Рис. 30:

запаздывание восприятия = 0;

запаздывание отклика = 0;

запаздывание поставки = 0.

Рис. 32:

запаздывание восприятия = 5 дней:

запаздывание отклика = 3 дня;

запаздывание поставки = 5 дней.

Рис. 34:

запаздывание восприятия = 2 дня;

запаздывание отклика = 3 дня;

запаздывание поставки = 5 дней.

Рис. 35:

запаздывание восприятия = 5 дней;

запаздывание отклика = 2 дня;

запаздывание поставки = 5 дней.

Рис. 36:

запаздывание восприятия = 5 дней;

запаздывание отклика = 6 дней;

запаздывание поставки = 5 дней. 

Невозобновляемый запас ограничивает использование возобновляемого (к рис. 37, рис. 38, рис. 39, рис. 40, рис. 41)

Запас: ресурс (t) = ресурс (t – dt) – (добыча ? dt).

Начальное значение запаса:

ресурс = 1000 — для рис. 38, рис. 40 и рис. 41;

ресурс = 1000, 2000 и 4000 — для трех разных сравнительных моделей на рис. 39.

Исходящий поток: добыча = капитал ? выработка на единицу производственного капитала.

t = годы;

dt = 1 год.

Период времени, на который делается расчет = 100 лет.

Запас: капитал (t) = капитал (t – dt) + (инвестиции – амортизация) ? dt.

Начальное значение запаса: капитал = 5.

Входящий поток: инвестиции = минимальное значение от прибыли или цели по прибыли (зависит от того, что меньше).

Исходящий поток: амортизация = капитал / срок службы капитала.

Преобразователи:

время жизни капитала = 20 лет;

прибыль = (цена ? добыча) – (капитал ? 10%);

цель по прибыли = капитал ? 10% — для рис. 30, рис. 31, рис. 32, рис. 33, рис. 34, рис. 35, рис. 36, рис. 37, рис. 38, рис. 39, рис. 40;

цель по прибыли = капитал ? 6%, 8%, 10% и 12% — для четырех разных сравнительных моделей на рис. 40;

цена = 3 — рис. 38, рис. 39 и рис. 40;

цена = 1,2 (рис. 41), когда выработка на единицу капитала высока, затем возрастает до 10, когда выработка на единицу производственного капитала падает, как показано на рисунке ниже.

Выработка на единицу производственного капитала начинается со значения 1, когда величина запаса ресурсов высока, но падает до 0, когда она снижается, как показано на графике ниже.

Изменение цены в зависимости от выработки на единицу капитала

Эффективность выработки 

Возобновляемый запас ограничивает использование возобновляемого запаса (к рис. 42, рис. 43, рис. 44, рис. 45)

Запасы: ресурс (t) = ресурс (t – dt) + (возобновление – урожай) ? dt.

Начальное значение запаса: ресурс = 1000.

Входящий поток: возобновление = ресурс ? скорость возобновления.

Исходящий поток: урожай = капитал ? выработка на единицу производственного капитала.

t = годы;

dt = 1 год.

Период времени, на который делается расчет = 100 лет.

Запасы: капитал (t) = капитал (t – dt) + (инвестиции – амортизация) ? dt.

Начальное значение запаса: капитал = 5.

Входящий поток: минимальное значение из инвестиции = прибыль или цель по прибыли.

Исходящий поток: амортизация = капитал / срок службы капитала.

Преобразователи:

продолжительность жизни капитала = 20 лет;

цель по прибыли = капитал ? 10%;

прибыль = (цена ? урожай) – капитал.

Цена начинается со значения 1,2, когда выработка на единицу производственного капитала высока, и увеличивается до 10, когда выработка на единицу производственного капитала падает. Это такая же нелинейная зависимость между ценой и доходом, что и в предыдущей модели.

Скорость возобновления = 0, когда запас или полностью заполнен, или полностью истощен.

В середине диапазона скорость возобновления достигает 0,5, как показано на графике ниже.

Выработка на единицу капитала — начальное значение = 1, когда запаса достаточно, но затем нелинейно снижается по мере уменьшения запаса ресурса.

Выработка на единицу капитала увеличивается:

наименьшая эффективность (для случая, показанного на рис. 43);

средняя эффективность (для случая, показанного на рис. 44);

наибольшая эффективность (для случая, показанного на рис. 45).