15. Лестница масштабов и планковский потолок

«Быть может, эти электроны — миры, где пять материков…» — Валерий Брюсов написал это в 1920 году, когда уже закладывались основы квантовой механики, говорящей, что этого быть не может в принципе. Мир на разных масштабах не самоподобен — тут дело не только в квантовой механике: муха размером со слона не сможет не только летать, но и ползать -лапы не выдержат. Но квантовая механика меняет мир радикально: исчезает траектория частицы, исчезает однозначная причинно-следственная связь, исчезает полная детерминированность будущего настоящим. Ричард Фейнман высказался в том духе, что квантовую механику не понимает никто, но есть люди, которые хорошо умеют ей пользоваться и описывать с ее помощью явления природы.

Квантовая механика достаточно проста с математической точки зрения, пока она остается в рамках описания нерелятивистских частиц во внешнем потенциале. Но и в этих рамках она тяжела для интерпретации, порождая всякие курьезы типа кота Шрёдингера (суперпозиция живого и мертвого котов), многомировой интерпретации и сильного антропного принципа (чтобы вселенная реализовалась, в ней должен возникнуть наблюдатель).

Квантовая теория поля даже в рамках теории возмущений по зубам только профессионалам, хорошо владеющим нужным математическим аппаратом, за рамками метода возмущений уже непотребно сложна и не имеет точного конструктивного математического описания. Приходится вводить дискретное пространство-время (решетку), чтобы хоть написать конструктивные выражения.

И всё же в квантовой механике есть один очень простой принцип, позволяющий сразу оценивать масштаб квантовых явлений. Это принцип неопределенности Гейзенберга. Напомним:

?р ?х ~ ћ/2

?E ?t ~ ћ/2,

где ?р — неопределенность в импульсе частицы, ?х — неопределенность в положении частицы, вторая строчка — аналогично для неопределенностей в энергии и времени, ћ — постоянная Планка. Это столь же фундаментальная постоянная, как и скорость света. К ним надо добавить еще гравитационную постоянную G. Если и есть что-то общее у разных вселенных, то, скорее всего, именно эта тройка констант. Конечно, общими не могут являться их конкретные численные значения — они есть результат нашего произвольного выбора единиц. Наоборот, эти константы задают естественную систему единиц, правда, не очень удобную для нас (см. ниже в этой главе). Общность скорее может заключаться в том, что процессы в разных вселенных имеют в этих естественных единицах одинаковое описание.

Из соотношения неопределенностей легко оценить, например, размер атома водорода R_H не прибегая к решению квантомеханических уравнений: энергия связи электрона в атоме порядка Е = e²/R_H, где е — заряд электрона. Кинетическая энергия связанного электрона должна быть порядка половины энергии связи — во всяком случае, такой принцип соблюдается в классической механике. От более глубокого падения электрона на протон страхует как раз принцип неопределенности: ?р ?х ~ ? Em_е, R_H ~ ћ/2. Из этих условий находим, что R_H = ћ²/4 e²/m_e = 0,13·10^-8 см, что в четыре раза отличается от размера боровского радиуса (который, конечно, тоже весьма условно характеризует размер атома). Такую точность можно считать вполне удовлетворительной.

Обратите внимание, что масса электрона стоит в знаменателе. Это значит, что если вместо электрона в атоме будет более тяжелая частица, то его размер будет меньше. Так и есть, мюонный атом водорода в 100 раз меньше нормального атома водорода. Но мюон живет всего 10^-6 с. А если бы он был стабилен? Тогда могли бы существовать молекулы в 100 раз меньшего размера, а также в миллион раз более плотные жидкости и твердые вещества.

Таким образом, квантовая механика диктует: системы меньшего размера можно строить только из более тяжелых частиц, и связаны они должны быть сильнее. Так что ни о каких мирах на масштабах атома речи идти не может. У нас нет более тяжелых стабильных частиц! Стабильная составная система наименьшего размера, существующая в нынешней Вселенной, — протон.

А каковы будут размеры квантовой гравитационно связанной системы двух частиц? Иными словами, каков размер атома, связанного только силами гравитации? Составляющие его частицы должны быть нейтральными, поскольку кулоновское притяжение или отталкивание сильнее гравитации. Увы, у нас нет нейтральных стабильных элементарных частиц, которые имели бы массу (кроме разве что нейтрино). Поэтому возьмем неэлементарные частицы, например два атома водорода. Имеем: энергия связи Е = Gm_p²/R, соотношение неопределенности: ?2Em_p·R = ћ. Результат R ~ ћ²/Gm_р³ ~ 10²⁴ см. Это порядка миллиона световых лет — полпути до Туманности Андромеды. Понятно, что энергия связи такого атома мала до полной потери смысла. Однако обратите внимание, что расстояние обратно пропорционально кубу массы частицы. Если взять недавно открытый бозон Хиггса, или W-бозоны, которые принадлежат к тому же уровню иерархии физических масштабов, размер гравитационного атома будет около светового года. Тоже бессмысленно, тем более, что упомянутые частицы живут ничтожные доли секунды. Существенно более тяжелых частиц мы пока не знаем, но есть серьезные основания предполагать, что за огромным интервалом в 14 порядков величины по энергии взаимодействий и по массе частиц начинается новая физика, новый уровень иерархии — так называемое великое объединение. Там должны существовать частицы, которые в 10¹⁶—10¹⁷ раз тяжелей протона. Сейчас таких частиц нет — распались, но они существовали в первые мгновения после рождения Вселенной. Размер гравитационного атома из частиц, которые в 10¹⁶ раз тяжелей протона, — 10^-24 см — на много порядков меньше всего, что доступно зондированию на самых мощных ускорителях. Теперь прикинем энергию связи такого атома: Е = GM²/R = 7 эрг — вполне макроскопическая величина. Чтобы разбить такой атом, не хватит энергии Большого адронного коллайдера. Но в условиях ранней Вселенной, когда ее температура была огромной и существовали частицы уровня великого объединения, это был очень рыхлый атом.

А может ли гравитационный атом быть настолько сильно связанным, чтобы энергия связи оказалась сравнима с массой составляющих его частиц? Может, если частицы в 10¹⁹ раз тяжелее протона. Эта масса по порядку величины равна 10^-5 г и называется массой Планка. Размер этого атома будет 10^-33 см, данная величина называется планковской длиной.

Интересно, каков будет радиус черной дыры массой те же 10^-5 г (R_g = GM/c²)? Оказывается, как раз эти самые 10^-33 см! То есть гравитационный атом двух точечных частиц массой 10^-5 г оказывается черной дырой. В этом заключается смысл планковского масштаба: сходятся квантовая механика (атом) и сильная гравитация.

Между прочим, черная дыра массы, например, 10^-4 г мгновенно испарится, излучив частицы сверхвысокой энергии (механизм Хокинга). Но, возможно, она испарится не полностью — останется черная дыра планковской массы. Впрочем, это трудно сказать наверняка — возможен распад и на частицы меньшей массы. А черная дыра массы меньше планковской невозможна в силу принципа неопределенности: ее невозможно локализовать внутри своего гравитационного радиуса. Точно так же и элементарная (точечная) частица с массой больше планковской окажется под своим гравитационным радиусом — т.е. черной дырой, не обладающей никакими характеристиками, кроме массы, момента вращения и электрического заряда. Но, как сказано выше, она очень быстро испарится до черной дыры 10^-5 г или до частиц меньшей массы.

Планковские величины (массу, длину, время) можно получить просто из соображений размерности: взять основные мировые константы — скорость света (размерность см/с), постоянную Планка (размерность эрг·c) и гравитационную постоянную (эрг·см/г²) — и комбинировать их так, чтобы получить нужную размерность.

Итак, планковскую массу мы уже получили m_рl = ?ћc/G ~ 2·10^-5 г. Планковскую длину тоже: l_pl= ћ/M_plc ~ 10^-33 см. Ну и планковское время: t_pl = l_рl/с ~ 10^-43 с. Эти величины можно взять за основу естественных фундаментальных единиц измерения — их диктует физика. Причем физический смысл этих величин тоже фундаментален. Масса Планка — максимальная масса, которую может иметь точечная элементарная частица. Планковская длина — минимальное расстояние, на котором можно в принципе что-то «увидеть». При попытке «рассмотреть» что-то меньшее требуется такой импульс частицы-зонда, что пространство при взаимодействии частицы с объектом искривилось бы настолько, что само понятие длины потеряло бы смысл. Аналогично планковское время — минимальный промежуток, на котором может произойти какое-либо событие (например, испускание последней частицы испаряющейся черной дырой).

Выше речь шла о нулевых колебаниях вакуума. Их энергия бесконечна, если нет ограничения сверху на частоту. Планковский масштаб, похоже, как раз дает это ограничение: обратное планковское время для частоты (не может существовать больших частот), или планковская длина для длины волны, что то же самое. Бесконечность исчезает, но проблема остается: плотность энергии вакуума без каких-либо механизмов компенсации оказывается на уровне план-ковской плотности. Последняя получается как масса Планка, деленная на куб планковской длины, 10⁹⁴ г/см³, что кажется абсурдно большой величиной: масса наблюдаемой части Вселенной «всего» 10⁵⁷ г. Реально плотность энергии вакуума (примем за нее плотность темной энергии) на 123 порядка ниже. Таковы требования к точности какой-то неизвестной нам симметрии, которая должна спасти науку от этого парадокса.

Впрочем, есть и иная точка зрения: столь малая плотность энергии вакуума «выпала» нашей Вселенной случайно как одной из немногих в бесконечном множестве. Если эта плотность для зародыша вселенной выпадает в результате какого-то случайного процесса более-менее равномерно по линейной шкале, то вероятность такой удачи (иначе ничего хорошего из вселенной не получится) порядка 10^-123 . Маловато, но всё зависит от числа возможных реализаций вакуума. Если их, скажем, 10⁵⁰⁰ (а это часто называемое число), то подели его на 10¹²³ — всё равно останется 10³⁷⁷ разных реализаций с достаточно малой плотностью энергии вакуума. Более подробная дискуссия по данному поводу развернута в главе 45.

Кроме того, что планковский масштаб фундаментален и пределен, он, увы, темен для нас. Дело в том, что общая теория относительности (а с ней и любая другая теория) перестает работать на планковском масштабе. Теория гравитации Эйнштейна — сугубо классическая теория. Электродинамика Максвелла — тоже классическая теория, но на ее основе удалось построить квантовую электродинамику.

Квантовой теории гравитации построить не удалось. Трудности, возникающие из-за сильной нелинейности теории и неустранимой расходимости интегралов, оказываются непреодолимыми. Хотелось бы добавить «пока», но тема занятий под названием «квантовая гравитация» существует многие десятилетия, а ясной теории с таким названием так и не просматривается. Если будет найден адекватный язык, на котором квантовая гравитация будет конструктивно сформулирована, это станет великим достижением. Сейчас квантовую гравитацию пытаются сформулировать на языке теории струн — в этом направлении есть свои достижения, а также свои проблемы.

_{15.1. Сальвадор Дали. Время на планковском масштабе (изображение из «Википедии»)}

Мы перечислили планковские единицы, включающие планковскую плотность. При такой плотности понятия расстояния и времени теряют смысл — это свойства классического пространства-времени. А в этом случае пространство-время становится сугубо квантовым, все «часы» и «линейки» перестают работать. Что это такое и что там происходит, можно только фантазировать. Кажется Джон Уиллер предложил на этот счет красивую метафору «пространственно-временная пена», имея в виду, что там должны появляться и исчезать любые мыслимые и немыслимые топологические пространственно-временные образования.

Вопрос о планковской плотности отнюдь не эквивалентен вопросу о числе ангелов на острие иглы — от него нельзя отмахнуться, как от нереализуемой абстракции. Она еще как реализуема!

Возьмем образование простой черной дыры при коллапсе звезды. На языке классической теории гравитации центральная часть звезды необратимо сжимается, уходит под горизонт Шварцшильда, теряя с нами причинную связь. Но и внутри горизонта с точки зрения сопутствующего наблюдателя вещество продолжает необратимо сжиматься — в сингулярность, в точку, где плотность бесконечна.

Это по классической теории, а по квантовой коллапсирующая материя должна упереться именно в пространственно-временную пену с планковской плотностью. Там решение Шварцшильда перестает работать, и никакого другого решения не существует — нет теоретического аппарата. Остается рассуждать (to speculate) и фантазировать. Зато фантазии оказываются захватывающими: из этой пены может брать начало множество новых вселенных. Причем, как будет рассказано ниже, есть качественные соображения, указывающие на то, что подобные фантазии отнюдь не беспочвенны. И наша Вселенная тоже проистекает оттуда, из «пены».

А теперь позвольте автору после длинного напряженного экскурса к пределу физического мира слегка повеселиться. Если бы я был теологом, я бы сделал карьеру на теории, что Бог в распределенном виде обитает на планковских масштабах, в этой пространственно-временной пене. Он там принимает коллапсирующие вселенные и звезды, испускает новые вселенные с разными свойствами -с будущими наблюдателями и без оных — и надежно прячется от физиков-теоретиков за непрошибаемыми проблемами теории квантовой гравитации. Ниже обсуждается то, что он там, может быть, делает еще одну очень важную вещь — играет в кости (Эйнштейн заявлял по поводу вероятностной интерпретации квантовой механики: «Бог не играет в кости!»). Действительно, физики с каким-нибудь надежным математическим аппаратом туда еще не скоро доберутся, чтобы показать, как это всё работает без Бога. Поэтому подобной карьере в обозримом будущем ничего не грозит. Правда, боюсь, что я уже опоздал с такой идеей…