Коэффициент Пуассона, или как работают наши артерии
Сердце - это, по существу, насос, который вгоняет кровь в артерии посредством довольно резких пульсаций. Работа сердца облегчается тем обстоятельством (которое идет и на благо организма в целом), что в нагнетательной, или систолической, фазе сердечного цикла справиться с избытком крови высокого давления помогает упругое растяжение аорты и больших артерий. Это сглаживает колебания давления и в целом улучшает циркуляцию крови. В действительности упругость артерий во многом играет ту же роль, что и воздушный рессивер, который конструктор часто ставит в системе, содержащей механический поршневой насос. В этом простом устройстве волна давления, которая сопровождает нагнетательный ход поршня, сглаживается за счет того, что нагнетаемой жидкости временно приходится сжимать воздух, удерживаемый над жидкостью в закрытом сосуде. Когда после окончания нагнетательного хода поршня клапан насоса закрывается (то же происходит и в диастолической фазе сердечного цикла), жидкость продолжает движение в гидросистеме за счет расширения сжатого воздуха (рис. 54).
Рис. 54. Упругое растяжение аорты и артерий играет ту же роль в сглаживании колебаний давления, что и наличие воздушного рессивера в поршневом насосе.
Это ритмичное чередование расширения артерий и их возвращения в исходное состояние благотворно и необходимо. Если с возрастом стенки артерий становятся более жесткими и менее эластичными, то давление крови повышается и сердцу приходится производить большую работу, что может отрицательно сказаться на его состоянии. Об этом знает большинство из нас, но о имеющейся здесь связи с деформациями стенок артерий задумываются немногие.
Как мы нашли в гл. 5, осевое напряжение в цилиндрической оболочке, такой, как стенка артерии, составляет ровно половину окружного напряжения. Это справедливо всегда, независимо от материала оболочки или трубы. Поэтому если бы закон Гука выполнялся в приведенной выше грубой формулировке, то осевая деформация также составляла бы половину окружной и общее удлинение артерии происходило бы в соответствующих пропорциях к ее первоначальным размерам.
Вспомним теперь, что главные артерии, такие, как артерии ног, могут иметь диаметр где-то около сантиметра, а длину около метра. Если упомянутые деформации действительно относились бы как два к одному, то, как показывает простой расчет, изменению диаметра артерии на 0,5 мм, которое без труда "умещается" в организме, соответствовало бы изменение длины на 25 мм.
Очевидно, что такого порядка изменения длины с частотой 70 раз в минуту невозможны и их на самом деле нет. Если бы такое происходило, наше тело вообще не могло бы функционировать. Достаточно только представить себе, что такое происходит с сосудами мозга.
К счастью, на самом деле продольные удлинения в находящихся под давлением трубах всех видов и размеров много меньше, чем можно было бы ожидать или опасаться. Доказательством того, что дело обстоит именно таким образом, является так называемый коэффициент Пуассона.
Если вы натянете резиновую ленту, она станет заметно тоньше, то же самое происходит и со всеми другими твердыми телами, хотя для большинства материалов это не так бросается в глаза. Напротив, если вы уменьшите длину куска материала, сжав его, поперечные размеры увеличатся. И то и другое происходит благодаря действию упругих сил, и первоначальная форма тела восстанавливается при снятии нагрузки.
Мы не замечаем этих поперечных перемещений в таких веществах, как сталь или кость, в силу малости как продольной, так и поперечной деформаций, но фактически и здесь дело обстоит точно так же. То обстоятельство, что подобные эффекты характерны для всех твердых тел и такое поведение существенно для практических задач, было впервые отмечено французом С.Д. Пуассоном (1781-1840). Он родился в очень бедной семье и в детстве не получил сколько-нибудь систематического образования, но в возрасте тридцати одного года стал академиком, а во Франции это одна из наивысших почестей, и он удостоился ее за свои работы в области теории упругости. Как было сказано в гл. 2, закон Гука гласит, что модуль Юнга = E = (напряжение / деформация) = s/e.
Поэтому, если мы приложим к плоской пластинке растягивающее напряжение s1, она удлинится упругим образом, так что в направлении растяжения деформация будет иметь величину e1 = s1/E.
Однако, кроме того, пластинка сократится в поперечном направлении (то есть в направлении под прямым углом к напряжению s1), и величину соответствующей деформации мы обозначим e2. Пуассон обнаружил, что для каждого материала отношение деформаций e1 и e2 есть величина постоянная, и это отношение теперь принято называть коэффициентом Пуассона. Ниже мы всюду будем использовать для этой величины обозначение ?. Таким образом, для данного материала, подвергаемого простому одноосному нагружению напряжением s1, ?=e2/e1 = коэфициент Пуассона[50]
Деформацию e1 в направлении напряжения s1 можно назвать первичной деформацией, а деформацию e2, вызванную напряжением s1 в перпендикулярном ему направлении, - вторичной деформацией (рис. 55). Согласно этому, e2 = ?e1, а так как e1 = s1 / E (это - закон Гука), то e2 = ?s1 / E.
Рис. 55. При одноосном нагружении твердого тела растягивающим напряжением s1 тело испытывает в направлении этого нагружения деформацию e1, а в поперечном направлении сокращается, при этом деформация равна e2.
Таким образом, если мы знаем значения величин ? и E, мы можем вычислить и первичную, и вторичную деформации.
Для материалов, используемых в технике, таких, как металлы, камень и бетон, значения ? лежат всегда между 1/4 и 1/3. Для твердых биологических материалов значения коэффициента Пуассона обычно выше, и часто они лежат вблизи 1/2. Преподаватели элементарной теории упругости сказали бы вам, что коэффициент Пуассона не может принимать значений больше 1/2, иначе происходили бы разного рода абсурдные и неприемлемые вещи. Это справедливо лишь отчасти, и значения коэффициента Пуассона для некоторых биологических материалов являются очень высокими, часто они больше единицы[51]. Экспериментальное значение коэффициента Пуассона для моего живота, измеренное недавно мною в ванне, составляет примерно единицу (см. сноску выше).
Таким образом, как сказано выше, благодаря коэффициенту Пуассона, если мы растягиваем в каком-либо одном направлении кусок материала, такой, как пленка или стенка артерии, он удлиняется в этом направлении, но одновременно сокращается в перпендикулярных. Поэтому в случаях, когда растягивающее напряжение действует не в одном, а в двух взаимно перпендикулярных направлениях, возникающие деформации будут разностью тех деформаций, которые создало бы каждое из этих напряжений в отдельности, и окажутся поэтому меньше последних.
При одновременном действии напряжений s1 и s2 суммарная деформация в направлении действия s1 будет e1 = (s1 - ?s2)/E, а суммарная деформация в направлении действия s2 будет e2 = (s2 - ?s1)/E.
Отсюда, используя результаты, приведенные в гл. 5[52], с учетом коэффициента Пуассона получаем, что продольная деформация стенок трубы, находящейся под внутренним давлением и сделанной из материала, подчиняющегося закону Гука, будет e2 = (rp/2tE)(1 - 2?), где r - радиус, р - давление, t - толщина стенок.
В результате увеличение длины трубы оказывается значительно меньшим, чем можно было бы ожидать; для гуковского же материала с коэффициентом Пуассоны, равным 1/2, продольные перемещения вообще отсутствуют. В действительности, как говорилось выше, материал стенок артерий не подчиняется закону Гука, в то же время коэффициент Пуассона для него, вероятно, больше 1/2. Возможно, эти два фактора взаимно компенсируются, поскольку соответствующие удлинения, фактически наблюдаемые в эксперименте, очень малы[53]. Несомненно, тот факт, что артерии постоянно находятся в организме в натянутом состоянии, свидетельствует о мерах предосторожности, принятых Природой против любых возможных остаточных удлинений кровеносных сосудов.
Эффекты, связанные с коэффициентом Пуассона, по-видимому, играют важную роль в поведении тканей животных; но они важны и в технике, о чем свидетельствуют все новые факты, возникающие, как правило, неожиданно и в самых разных сочетаниях.
Возможно, следует также добавить, что, в то время как аорта и главные артерии расширяются и сокращаются упругим образом в такт с биением сердца, с артериями меньшего размера дело обстоит несколько иначе. Стенки этих артерий соединены с мышечной тканью, которая может увеличивать их эффективную жесткость и таким образом, ограничивая диаметр этих артерий, влиять на количество крови, подводимое к каждому из участков тела. Таким путем регулируется кровоснабжение тела.