11.1. Число и величина

Во времена Пифагора и ранних пифагорейцев руководящую высоту в греческой математике занимало понятие числа. Пифагорейцы считали: Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир — множественность. Божественная гармония в устройстве Космоса проявляется в виде числовых отношений. Немалую роль в этом убеждении сыграло открытие пифагорейцами того факта, что сочетания звуков, приятные для слуха (гармонические), создаются в том случае, когда струна укорачивается в отношениях, образуемых минимальными целыми числами: 1:2 (октава), 2:3 (квинта), 3:4 (кварта) и т. д. Числовая мистика пифагорейцев отражала их веру в то, что, в конечном счете, все закономерности природных явлений вытекают из свойств целых чисел.

Мы видим здесь проявление человеческой склонности к переоценке только что сделанных открытий. Физики конца XIX в. полагали подобно пифагорейцам, что они имеют универсальный ключ ко всем явлениям природы и что при надлежащем усердии с его помощью можно раскрыть секрет любого явления. Этот ключ — представление о пространстве, заполненном частицами и полями, которые подчиняются уравнениям Ньютона и Максвелла. Однако с открытием радиоактивности и дифракции электронов высокомерие физиков разлетелось в пух и прах.

В случае с пифагорейцами аналогичную роль сыграло открытие существования несоизмеримых отрезков, т. е. таких отрезков, что отношение их длин не выражается никаким отношением целых чисел (рациональным числом). Не соизмеримы, например, сторона квадрата и его диагональ. Это утверждение легко доказать, опираясь на теорему Пифагора. В самом деле, допустим противное, т. е. что диагональ квадрата находится в некотором отношении m:n к его стороне. Если числа m и n имеют общие множители, их можно сократить, поэтому будем считать, что общих множителей у m и п нет. Значит, при измерении длины некоторым единичным отрезком длина стороны есть n, а диагонали m. Из теоремы Пифагора следует, что должно иметь место равенство m2 = 2n2. Следовательно, m2 должно делиться на 2, а, следовательно, 2 должно быть в числе делителей m, т. е. m = 2m1. Делая эту подстановку, получаем 4m12 = 2n2, т. e. 2m12 = n2. Значит, n также должно делиться на 2, что противоречит предположению об отсутствии у m и n общих множителей. На это доказательство часто ссылается Аристотель. Полагают, что оно было обнаружено еще пифагорейцами.

Если существуют величины, которые при заданном масштабе не выражаются числами, то число не может больше считаться основой основ, оно низвергается со своего пьедестала. Математикам приходится теперь пользоваться более общим понятием геометрической величины, и изучать отношения между величинами, которые иногда (скорее, в виде исключения, чем правила) могут выражаться отношением целых чисел. Такой подход лежит в основе всей греческой математики, начиная с классического периода. Соотношения, которые мы знаем как алгебраические равенства, были известны грекам в геометрической формулировке как отношения между длинами, площадями, объемами построенных определенным образом фигур.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Похожие главы из других книг:

36. Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Число Рейнольдса

Из книги автора

36. Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Число Рейнольдса Как нетрудно было убедиться в вышеприведенном опыте, если фиксировать две скорости в прямом и обратном переходах движения в режимы ламинарное ? турбулентное, то?1 ? ?2где ?1 – скорость, при которой


8.2.3.6.2 Число колонок

Из книги автора

8.2.3.6.2 Число колонок Должно быть указано число колонок, используемых при оформлении страниц документа.Примечание — Наиболее часто в документации пользователя программного средства используют одноколонное оформление страниц, но может быть также использовано


41. Передаточное число для рычажно-зубчатых индикаторов

Из книги автора

41. Передаточное число для рычажно-зубчатых индикаторов Передаточное число для рычажно-зубчатых индикаторов можно вычислить двумя способами:1)  где I – длина плеча последнего рычага; R – длина плеча первого рычага; – произведение передаточного числа зубчатых пар;2)  где


Новая величина

Из книги автора

Новая величина В начале было слово, то есть интуитивное представление. На восьмой день пришли к вратам парадиза метрологи, открыли дверь ногой и заявили, что с интуитивным представлением они работать не могут и что им нужно превратить это интуитивное в вещи, которые можно


4. Элементарная ячейка; координационное число; сингония

Из книги автора

4. Элементарная ячейка; координационное число; сингония Кристаллографические направления и плоскости, анизотропия; межплоскостные расстояния Кристаллическая решетка – упорядоченное расположение атомов. Элементарная ячейка кристалла – минимальный объем кристалла,