6

Беда не приходит одна: жена Кеплера заразилась тифом, который принесли вошедшие в Прагу войска, и умерла летом 1611 г. Трое его детей заболели оспой, а любимый сын умер. Осиротевший Кеплер оказался математиком при низложенном короле — по требованию Рудольфа Кеплер оставался при нем вплоть до его смерти в январе 1611 г. Вторичное обращение Кеплера к герцогу Вюртембергскому с просьбой о месте профессора в Тюбингене оказалось безрезультатным, потому что Кеплер отказывался признать без оговорок «Формулу согласия», как того требовали вюртембергские теологи[7]. Они не могли простить ему ни его религиозной непримиримости, ни ярко выраженных кальвинистских симпатий. Более терпимыми оказались австрийские протестанты: в Линце специально для Кеплера была учреждена должность математика провинции Верхней Австрии, и весной 1612 г. он переезжает в Линц.

Терпимость австрийцев на поверку оказалась недолгой: когда Кеплер отказался подписаться под «Формулой согласия», лютеранский пастор Линца исключил его из числа членов церковной общины. Из-за своей религиозной неортодоксальности Кеплер снова попал в крайне мучительное положение, когда и католики, и собратья по вере считали его отступником. Когда Контрреформация воцарилась в Линце в 1625 г., Кеплера разве что не прогнали, но библиотека его была опечатана, а сыновей заставили посещать католические богослужения.

Несмотря на жизненные невзгоды, 14-летний период жизни в Линце стал для Кеплера самым продуктивным. Там он написал «Гармонию мира», «Очерк коперниканской астрономии», закончил «Рудольфинские таблицы» (уже одной из этих книг было достаточно, чтобы оправдать жизнь любого ученого и прославить его имя). Впрочем, в Линце ему в первый раз по-настоящему повезло: 30 октября 1613 г. Кеплер женился на Сусанне Ройттингер, которая была почти вдвое его моложе. Этот брак оказался вполне счастливым (хотя из семи детей от этого брака пятеро умерли в раннем возрасте).

В первые четыре года по приезде в Линц Кеплер почти не занимался астрономией. Вначале он был поглощен хлопотами по устройству на новом месте, и тут, при оборудовании винного погреба в своем доме, он неожиданно столкнулся с проблемой, которая дала импульс его новой работе, на этот раз чисто математической. Дело в том, что виноторговцы измеряли объем бочек с помощью мерной линейки, которая вставлялась в бочку по диагонали; Кеплера это не удовлетворило, и он решил вычислить действительный объем бочки. Исследуя проблему, Кеплер пошел по пути, отличному от архимедовского, и представил бочку как тело, составленное из бесконечного числа тонких круговых цилиндров. В результате в 1615 г. появилась «Стереометрия винных бочек», одна из замечательных книг начала XVII в., в которой содержатся зачатки инфинитезимального исчисления. Заметим, что «Стереометрия» до самого последнего времени оставалась единственной книгой Кеплера, переведенной на русский язык (в 1982 г. появился перевод ряда небольших его произведений под общим заглавием «О шестиугольных снежинках»).

Обычно, когда говорят о вкладе Кеплера в математику, упоминают именно «Стереометрию винных бочек». Однако, следуя Кокстеру, справедливо утверждать, что не менее значительный вклад Кеплера в чистую математику относится к области правильных многоугольников и многогранников, которые привлекали внимание ученых со времен Пифагора и Платона. Этот вклад содержится в одной из главных книг Кеплера — «Гармонии мира», опубликованной в 1619 г.

Идея гармонии во Вселенной пронизывает все сочинения Кеплера, начиная с «Космографической тайны», его первой книги. Представление о том, что все в Природе подчинено единому гармоническому началу, или архетипическому принципу, который находит свое отражение во всех искусствах и науках, соответствует традиции неоплатоников, оказавшей сильнейшее воздействие на формирование мировоззрения Кеплера. Книгу о мировой гармонии Кеплер задумал написать еще в Праге, и в 1599 г. составил ее подробный план. Однако к осуществлению этого плана вплотную он смог приступить только в феврале 1618 г. Работа над «Гармонией мира» была едва ли не единственным его утешением в период тяжелых испытаний: в 1617 г. мать Кеплера обвинили в колдовстве, и он вынужден ехать в Вюртемберг, чтобы организовать ее защиту на процессе, а в начале 1618 г, одна за другой умирают две его дочери от Сусанны Ройттингер. На нем как тяжелый груз висит необходимость составления «Рудольфинских таблиц». Но механическая работа удовлетворить его не может: «Я отложил таблицы в сторону, потому что работа над ними требует покоя, и я направил свой ум к усовершенствованию „Гармонии"» {7, XVII, с. 254}.

Титульный лист «Гармонии, мира» 

«Безусловно, эта книга была любимым детищем Кеплера, В ней были мысли, которым он оставался верен несмотря на все тяжкие испытания, выпавшие в жизни на его долю, и которые были единственным светлым пятном в окружавшей его тьме... С точностью исследователя, который задумывает и осуществляет наблюдения, а затем производит по ним расчеты, он соединил в этой книге творческую силу художника, распознающего образы, со страстью богоискателя, который борется с ангелами. И его „Гармония" получилась грандиозным космическим полотном, сотканным из науки, поэзии, философии и мистицизма» {12, с. 290}.

Кеплер написал эту книгу в удивительно короткий срок, практически с февраля по май 1618 г. В ней он развивает свою теорию гармонии в четырех областях — геометрии, музыке, астрологии и астрономии. Остановимся сперва на геометрии многогранников, которой посвящены первые два раздела книги.

История рассмотрения многогранников теряется в античности. Неизвестно, каким образом они были открыты Платоном около 400 г. до н. э. Ученик Пифагора Тимей, который знал учение о четырех элементах и пять правильных тел Платона, изобрел соответствие: тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, куб — земля, икосаэдр — вода, а пятое тело — додекаэдр представлял, по его мнению, всю Вселенную. Кеплер воспринял это соответствие, расположив на рисунках в «Гармонии мира»: в тетраэдре — горящие чурки, в октаэдре — птиц и облака, в кубе — морковь и огородные инструменты, в икосаэдре — рыб и омара, в додекаэдре — Солнце, Землю и звезды.

В этом же духе много лет назад в своей первой книге «Космографическая тайна» он пытался найти соответствие между пятью правильными телами и шестью планетами, которые были известны в его время. Идея о соответствии устройства Вселенной и системы пяти правильных многогранников была мистическим лейтмотивом всего творчества Кеплера, а вовсе не заблуждением неофита, как это часто изображают.

Теперь Кеплер снова пытается увидеть прообраз гармонии мироздания в форме и соотношении геометрических фигур. Он пишет: «Так как мы взялись выяснить источник Гармонии и его главенствующее воздействие во всем Мире в целом, как могли бы мы оставить без рассмотрения конгруэнцию фигур, которая является источником гармонических пропорций? Ведь по-латыни «конгруэре» и «конгруэнциа» означает то же самое, что «хармоттейн» и «хармониа» по-гречески. Далее, роль фигур в геометрии и любой области архитектоники (где речь идет о прототипах) проявляется в том, что они помогают как бы создать картину и за пределами геометрии, помогают создать ростки понимания вещей в природе и в самих небесах» {13, с. 63}.

Кеплер рассматривает обобщение правильных многогранников, введя понятие конгруэнции и конгруэнтных фигур. Его определение этих понятий отличается от принятых теперь. Мы называем фигуры конгруэнтными, если сохраняется неизменным расстояние между двумя соответствующими точками фигур, а конгруэнцией, или конгруэнтным преобразованием,— такое, которое сохраняет это расстояние неизменным. Кеплер понимает под конгруэнцией вид соединения простых фигур (как плоских, так и пространственных) в более сложные, причем новую получающуюся фигуру он также называет конгруэнцией: «Конгруэнция различается в плоскости и в пространстве. На плоскости имеет место конгруэнция, когда отдельные углы нескольких фигур так примыкают друг к другу в точке, что между ними не остается никакого промежутка». Для пространственной конгруэнции дается аналогичное определение, только плоский угол заменяется пространственным {13, с. 64}.

Замечательно определение § XII книги II, которое связывает понятие конгруэнции как с фигурами на плоскости, так и с фигурами в пространстве: «Плоские фигуры являются конгруэнтными, когда они или замыкаются в пространственную фигуру, или же заполняют плоскость без промежутков, при этом фигуры должны быть правильными или полуправильными» {13, с. 66}.

Путь, по которому идет Кеплер, строя свои конгруэнции на плоскости и в пространстве, содержит в себе весьма простую идею. В распоряжении Кеплера имеется набор (правильных) многоугольников, выстроенный в порядке увеличения числа сторон. Затем он поочередно располагает эти многоугольники вокруг одной точки с тем, чтобы они образовывали на плоскости некоторую фигуру без зазоров и нахлестов. Вначале Кеплер рассматривает возможность построения такой фигуры из многоугольников одного вида (например, треугольников), а затем переходит к более сложным фигурам, составленным из многоугольников различного вида (например, треугольников и четырехугольников), постепенно все более усложняя фигуры и комбинации. Таким образом он перебирает все возможные случаи я приходит к выводу, что имеется лишь три типа регулярных паркетажей, которые могут быть продолжены на всю плоскость до бесконечности: шесть треугольников вокруг каждой вершины, четыре четырехугольника вокруг каждой вершины и три шестиугольника вокруг каждой вершины.

Итак, усложняя постепенно имеющиеся в его распоряжении элементы, Кеплер строит в плоскости сложную фигуру вокруг точки-вершины. Эту фигуру он и называет конгруэнцией. Аналогичным образом он строит и пространственные конгруэнции. При этом в основе его рассуждений лежит несколько весьма простых утверждений: «Для того чтобы в плоскости образовать конгруэнцию, каждый раз надо иметь по меньшей мере 3 плоских угла (предложение XIV). Для построения пространственного угла необходимо по меньшей мере три плоских угла (предложение XV). Сумма углов, которые в плоскости образуют конгруэнцию, всегда равна 4 прямым и никогда больше; в пространстве она меньше 4 прямых (предложение XVI). Пусть две поверхности не больше, чем третья. Тогда они не могут составить пространственный угол (аксиома XX)» {13, с. 66, 72}.

Вот почти все исходные положения Кеплера. Остается только удивляться, что, основываясь на столь простых предпосылках, он смог перечислить все пространственные конструкции (конгруэнции), аналогичные тринадцати архимедовым телам. Более того, он открыл, что существует два бесконечных семейства тел: призмы (с квадратами на боковой поверхности) и антипризмы (с равносторонними треугольниками на боковой поверхности). Наконец, в процессе исследования проблемы Кеплер пришел к выводу, что правильные многогранники могут быть составлены не только из правильных выпуклых многоугольников, но и из правильных звездчатых многоугольников: «Пятиугольные звезды замыкаются по всем сторонам в пространстве; получающиеся фигуры имеют при вершинах в одном случае 12 пятигранных углов, а в другом — 20 трехгранных. Первая звезда стоит на трех вершинах, вторая на пяти ...Хотя у них снаружи не видно правильных граней, тем не менее они представляют собой равнобедренные треугольники, построенные на стороне пятиугольника как на основании. В одной плоскости располагаются всегда пять таких треугольников; они группируются вокруг скрытого в пространстве пятиугольника, являющегося их сердцем, с которым они все вместе образуют пятиконечную звезду, которая по-немецки называется «ведьминой ногой», а для Теофраста Парацельса означала символ здоровья... Родство этих фигур — одной с додекаэдром, а другой с икосаэдром столь велико, что дает возможность рассматривать эти последние, особенно додекаэдр, как обрубок, или торс, по сравнению с соответствующим звездчатым телом» {13, с. 77}.

Таким образом, Кеплер отчетливо представлял себе конструкцию и свойства многогранников, которые сегодня называются малым и большим звездчатым додекаэдром. Исследование этих тел было продолжено лишь два столетия спустя выдающимся французским математиком Луи Пуансо, а полная теория звездчатых многогранников была построена еще позже в работах Коши, Бертрана и Кели.

В Книге III, посвященной музыке, и в Книге IV, посвященной астрологии, Кеплер пытается показать, что архетипические принципы Вселенной основаны в первую очередь на геометрии, а не на числе как таковом. Согласно его представлениям, например человеческие души тесно связаны с расположением звезд на небе, причем эта связь определяется величиной углов между созвездиями в момент рождения человека, а затем и в продолжение всей его жизни. С другой стороны, в музыке Кеплер пытается сопоставить натуральный лад совокупности правильных многогранников и их элементов. Более того, он был твердо уверен, что с помощью геометрии он разгадал принцип, управляющий гармонией сфер: согласно представлениям, берущим начало в античности, планеты при своем движении по орбите издают определенный музыкальный звук. Кеплер установил, что отношения скоростей планет в перигелии и афелии соответствуют созвучиям перехода в новую тональность. А поскольку одна планета не обязательно находится в перигелии, когда другая находится в афелии, гармонии сфер звучат лишь время от времени по мере того, как планеты движутся по орбитам. Ему казалось, что он открыл еще один из таинственных законов мироздания: «Теперь больше не должно казаться странным, почему человек, подобие своего Создателя, открыл в конце концов полифонию, искусство, неизвестное древним. С помощью этой симфонии звуков человек может играть всего лишь час среди бесконечного времени и тем не менее почувствовать, хотя и в малой степени, то наслаждение которое свойственно Богу, Величайшему художнику, и получать это сладчайшее удовольствие от музыки, которая подражает Богу» {7, VI, с. 328}.

Подобные высказывания могут вызвать у современного читателя снисходительную улыбку, но хочется подчеркнуть, что именно в процессе таких поисков, где мистика сплеталась со стремлением к рациональности, Кеплер приходит в главе V к фундаментальному соотношению, называемому сегодня третьим законом: отношение периодов обращений двух планет равно отношению их средних расстояний от Солнца в степени 3/2. Он не приводит вывода этого закона и не заботится показать, насколько этот закон является точным. Тем не менее он в восторге от найденного соотношения, потому что оно столь замечательно связывает расстояния планет от Солнца с их скоростью, создавая, таким образом, предпосылку и первопричину его ранних находок в «Космографической тайне» и теперешних утверждений в «Гармонии».

Подробное доказательство Кеплер дает в другой своей книге, которую он писал одновременно с «Гармонией». Она была опубликована в трех выпусках под названием «Краткий очерк коперниканской астрономии». Написанная в форме вопросов и ответов — стиле, характерном для учебников XVI в., она в самом деле представляла лучший учебник по теоретической астрономии для своего времени. Последний выпуск «Очерка» был напечатан осенью 1621 г., как раз тогда, когда процесс по обвинению матери Кеплера в колдовстве закончился ее оправданием — она выдержала испытание пыткой.

Вывод третьего закона, или закона гармонии, как называл его Кеплер, основывается на ряде соотношений и гипотез, которые Кеплер уже неоднократно использовал. Во-первых, рассматривается сила F, заставляющая планету двигаться по орбите: чем она больше, тем меньше период обращения Т (T ~ l/F). Эта сила, как мы помним, определяется потоком особых частиц, которые как бы толкают планету. Естественно предположить, что период будет прямо пропорционален массе планеты М, потому что скорость движения вследствие инерции будет уменьшаться с ростом массы при одном и том же потоке частиц (Т ~ М) С другой стороны, чем больше длина орбиты L, тем больше период, а чем больше объем планеты, тем больше движущих ей частиц будет с нею сталкиваться, следовательно, период оказывается прямо пропорциональным длине орбиты и обратно пропорциональным объему (T ~ L/V).

В результате Кеплер получает зависимость, которую можно записать формулой

T ~ LM/FV.

Теперь задача сводится к тому, чтобы выразить все величины, входящие в правую часть, через расстояние от Солнца R. Ясно, что L ~ R. То, что F ~ 1/R, Кеплер использовал еще в «Новой астрономии». Остается найти зависимость от R выражения M/V, т. е. плотности планет. Кеплер говорит вначале, что такая зависимость является монотонно убывающей. Это позднее подтвердил Ньютон в «Математических началах натуральной философии», но у Кеплера никаких тому доказательств не было. Затем он просто утверждает, что M/V пропорционально R1/2 так как того требуют архетипические принципы. В этом пункте доказательства Кеплер определенно допускает промах. Но совершенно ясно, что он не стал бы это утверждать, если бы заранее не был уверен в правильности своей зависимости. Как показал О. Гингерич, из результатов, содержащихся в «Новой астрономии», нетрудно заключить, что квадраты периодов совпадают с кубами средних расстояний от Солнца, как это можно видеть из составленной им таблицы.

Расчет параметров движения планет по данным «Новой астрономии» {14, с. 598}

Получается, что третий закон был открыт Кеплером на основе опытных данных, но затем он приобрел в его глазах статус фундаментального теоретического закона. В этом еще раз сказалось постоянное стремление Кеплера к созданию всеобъемлющей теоретической системы. Недаром Книга IV «Очерка», где обсуждается закон гармонии, носит название «Небесная физика, где каждая величина, движение и пропорция на Небе объясняется с помощью причины, естественной или архетипической».

Кеплер считал себя космологом и физиком, в то время как его начальство видело в нем прежде всего вычислителя, призванного завершить дело, завещанное Тихо Браге,—составить таблицы положений планет. Долгое время эта работа лежала тяжелым бременем на плечах Кеплера, но в конце концов к 1627 г. она была закончена.

Таблицы, названные «Рудольфинскими» в честь императора Рудольфа II, общего патрона Кеплера и Браге, позволяли получать значения координат планет с невиданной до сих пор точностью. Например, положение Марса на небосводе предсказывалось с точностью 10 минут, тогда как прежние таблицы давали ошибку в 5°. Благодаря своим таблицам Кеплер смог предсказать прохождение Меркурия через солнечный диск; точность его вычислений была подтверждена наблюдениями Пьера Гассенди в Париже 7 ноября 1631 г., когда Кеплера уже не было в живых.

Задолго до того как «Рудольфинские таблицы» были напечатаны, Кеплер начал думать о новой перемене места жительства. Его жизнь в Линце была по-прежнему тяжелой: сказывалась напряженность из-за религиозных конфликтов, а кроме того, он постоянно испытывал недостаток в средствах: жалованье ему выплачивалось нерегулярно и даже за составление таблиц он не получил ни гроша. Лишь осенью 1624 г. император Фердинанд II постановил, что Кеплеру должны быть выплачены причитающиеся ему деньги — 6300 гульденов. Прошло еще три года, прежде чем он смог их получить, но к тому времени обстоятельства Тридцатилетней войны делают его пребывание в Линце невыносимым.

После долгих мытарств Кеплер принимает предложение стать придворным астрологом Альбрехта Валленштейна, главнокомандующего императорской армией. Валленштейн обещал, что Кеплеру будут созданы наилучшие условия для работы, его религиозные взгляды будут уважаться, а кроме того, он возьмет на себя расходы на издание книг Кеплера. В 1628 г. Кеплер переезжает в Саган, центр небольшого силезского герцогства, которое император подарил Валленштейну.

Дом в Регенсбурге, в котором умер Кеплер

Но, к сожалению, в Сагане Кеплер столкнулся с теми же проблемами, что и прежде: денег ему не платили, книг не печатали, в городе разгорались религиозные распри. «Я здесь гость и чужак,— писал он своему другу,— почти никому не известный, с трудом понимающий местный диалект, так что на меня смотрят как на варвара» {7, XVIII, с. 402}. Наконец, в октябре 1630 г. он отправляется в Регенсбург на встречу с Фердинандом II в надежде получить у него содействие в выплате жалованья, а также выхлопотать новую должность. Но этим надеждам не суждено было осуществиться: через несколько дней после приезда в Регенсбург Кеплер тяжело заболел и умер 15 ноября 1630 г. Протестантское кладбище, на котором он был похоронен, впоследствии было полностью разрушено во время сражений Тридцатилетней войны.

Единственным, кто позаботился о наследии Кеплера, был его помощник Якоб Бартч, женившийся на его дочери Сусанне в марте 1630 г. Он поместил на его могиле эпитафию, сочиненную для себя самим Кеплером:

Mensus eram coelos nunc terrae metior umbras

Mens coelestis erat, corporis umbra jacet.

Я небеса измерял; ныне тени Земли измеряю.

Дух на небе мой жил; здесь же тень тела лежит {15, с. 30}.