5

Как мы помним, критика эмиссионной теории света и особенно ожесточенные нападки Гука, который настаивал к тому же на своем приоритете в ряде открытий, заставили Ньютона отказаться от публикаций по вопросам, касающимся оптических явлений, поэтому его «Оптика» вышла в свет лишь в 1704 г., после смерти Гука. Тем не менее именно Гук в 1679 г. побудил Ньютона заняться проблемой обоснования законов Кеплера и в связи с этим проблемой тяготения. Как и Ньютон, Гук еще в 1666 г. размышлял над этой проблемой и докладывал Королевскому обществу о своих опытах по измерению силы тяжести в зависимости от высоты.

Впоследствии в 1674 г. он опубликовал работу, озаглавленную «Попытка доказать движение Земли», в которой высказывал свои соображения относительно устройства Вселенной: «Они основываются на трех предположениях. Первое, что все небесные тела, каковы бы они ни были, обладают притяжением, или притягательной способностью, направленной к собственным центрам, посредством чего они притягивают не только части самих себя и не дают им от себя отлететь, что мы наблюдаем на Земле, но также они притягивают все остальные небесные тела, находящиеся в сфере их действия. Второе предположение заключается в том, что все тела, каковы бы они ни были, будучи приведены в прямолинейное и простое (т. е. равномерное.— В. К.) движение, будут продолжать двигаться по прямой до тех пор, пока они не будут с помощью других действующих сил отклонены и приведены в движение по кругу, эллипсу или некоторой другой более сложной кривой линии. Третье предположение гласит, что эти притягивающие силы таковы, что они действуют тем сильнее, чем ближе притягиваемое находится к своему центру» [2, с. 382].

В конце 1679 г. Гук сменил Ольденбурга на посту секретаря Королевского общества и в качестве такового предложил Ньютону возобновить научную переписку, прерванную несколько лет назад в связи с дискуссией о природе света. В частности, он предложил ему высказать свои соображения относительно «представления о том, что небесные движения состоят из прямого движения по касательной и притягательного движения по направлению к центральному телу» [Письмо Гука Ньютону 24 ноября 1679 г. 4, II, с. 297—298]. Как следует из приведенных высказываний Гука, хотя у него и не было окончательного представления о законе тяготения, тем не менее он впервые высказывал динамические идеи, не связанные с понятием центробежной силы, т. е. впервые связывал движение небесных тел по замкнутой орбите с силой, направленной к центру тяготения, изменяющей таким образом первоначальный прямолинейный характер движения.

У Ньютона до сих пор такого ясного понимания не было. Но Гук своим письмом дал первый импульс цепной реакции исследований такой силы и такого размаха, что полученные Ньютоном результаты превзошли первоначальные догадки Гука. Ньютон сначала решил было не отвечать на письмо — он получил его в ноябре, спустя несколько месяцев после смерти матери, и очевидно, не хотел заниматься этим вопросом. Вместо этого он предложил «свои собственные соображения относительно суточного движения Земли, спиральной орбиты, по которой двигалось бы свободно падающее тело, если бы оно падало без сопротивления и внутри земной поверхности, и после нескольких оборотов оно достигло бы, двигаясь по спирали, центра Земли (или было бы весьма к нему близко)» [Письмо Ньютона Гуку 28 ноября 1679 г. 4, II, с. 300-303; 12].

Гук ответил, что такая орбита не была бы спиралью. Он считал, что, согласно «его теории кругового движения», тело в отсутствие сопротивления двигалось бы не по спирали, а по «роду эллиптоида» (a kind of Elliptuoid), а сама орбита «напоминала бы эллипс» и что этот вывод основан на «его теории кругового движения, составленного из прямого (т. е. тангенциального) движения и притягательного движения к центру» [Письмо Гука Ньютону 9 декабря 1679 г. 4, II, с. 304—306]. Ньютон не мог игнорировать такого прямого несоответствия высказанной им точке зрения. 13 декабря 1679 г. он написал Гуку: «Я согласен с Вами, что... если его тяжесть предполагать однородной, тело будет не опускаться по спирали к самому центру, а обращаться с переменным опусканием и подъемом, описывая вокруг центра Земли фигуру, напоминающую трилистник. Причина заключается в том, что “его центробежная сила и тяжесть попеременно возобладают друг над другом”» [4, II, с. 307—309].

Ньютон здесь отказывался принять представление об эллиптической орбите, возникающей вследствие тяготения, убывающего как некоторая степень расстояния, хотя задолго до этого доказал, что для кругового движения комбинация третьего закона Кеплера и правила для центробежной силы дает закон центробежной силы как функции обратного квадрата расстояния. Нет никаких данных о том, почему Ньютон выказывал такое недоверие — вследствие ли плохого результата раннего «лунного» эксперимента или же вследствие других причин. В конце письма он просит Гука высказаться по поводу предлагаемой гипотезы и внести свои поправки.

Ответ Гука не заставил себя ждать. В письме от 6 января 1680 г. он писал: «Но мое предположение состоит в том, что притяжение всегда действует в обратном двойном отношении к расстоянию от центра, и следовательно, скорость будет в половинном отношении к притяжению, и следовательно, как Кеплер полагал, обратна к расстоянию» [4, II, с. 309].

Гук утверждал также, что его представление «является весьма удобопонятным и истинно объясняет все явления на небе» и что «нахождение свойств кривой, выведенное из свойств двух принципов, будет весьма важным для человечества», так как определение долготы по астрономическим данным есть его неооходимое следствие. Спустя несколько дней Гук отваживается на прямой вызов Ньютону: «Теперь остается узнать свойства кривой линии (ни круговой, ни концентрической), определяемой центральной силой притяжения, которая определяет скорости уклонения от касательной линии или равного прямого движения на всех расстояниях в двойном обратном отношении к расстояниям. Я не сомневаюсь, что при помощи Вашего замечательного метода Вы сможете легко найти, что это должна быть за кривая и каковы ее свойства, а также предложить физическое объяснение этого отношения» [Письмо Гука Ньютону 17 января 1680 г. 4, II, с. 313].

Ньютон тогда не ответил, но вызов принял. Как следует из исследований Херивела [13, с. 247—253], Ньютон в начале 1680 г. доказал, что в поле силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, планета движется по эллиптической орбите. Позднее он сам так рассказывал об этом: «Я нашел, что каков бы ни был закон сил, удерживающих планеты на орбите, площади, описываемые радиусом, проведенным от них к Солнцу, будут пропорциональны временам описания. И... что эти орбиты будут эллипсами, как описал Кеплер, если силы, удерживающие их на орбитах вокруг Солнца, понимаются обратно пропорциональными квадратам их расстояний от Солнца» [14, с. 293].

Однако прошло еще четыре года, прежде чем кто-либо об этом узнал. К 1684 г. вопрос о том, как получить законы Кеплера исходя из общих принципов механики, стал одним из центральных в среде английских ученых. В январе 1684 г. он стал предметом обсуждения на заседании Королевского общества, где присутствовали астроном Галлей, архитектор Рен и Гук. Гук заявил, что он может вывести все законы Кеплера из предположения, что сила притяжения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, но доказательства не представил. Тогда Рен предложил приз — книгу стоимостью в 2 фунта — тому, кто решит эту проблему в течение двух месяцев. Но два месяца прошли, а решение все еще не было найдено. Дело сдвинулось с мертвой точки лишь тогда, когда в августе 1684 г. обратились к Ньютону. По свидетельству Де Муавра, записанного со слов Ньютона, все произошло так: «В 1684 г. доктор Галлей посетил его в Кембридже. Спустя некоторое время после приезда доктор спросил его, какой по его мнению должна быть кривая, которую описывает вокруг Солнца планета, в предположении, что сила притяжения к Солнцу обратно пропорциональна квадрату расстояния от него. Сэр Исаак немедленно ответил, что кривая будет эллипсом. Доктор в возбуждении спросил, откуда ему это известно. Я рассчитал, — ответил тот. Тогда доктор Галлей попросил сейчас же показать расчеты. Сэр Исаак порылся в бумагах, но найти их не смог. Тем не менее он пообещал возобновить расчеты и послать их Галлею» [2, с. 403].

Ньютон сдержал свое обещание: в ноябре того же года Галлей получил небольшой трактат (в нем было всего девять страниц), озаглавленный «О движении тел по орбите» («De motu corporum ingirum»). В нем не только было доказано, что эллиптическая форма орбиты обусловливает закон обратных квадратов для притяжения тела, помещенного в фокусе, но было также намечено доказательство первоначальной задачи, поставленной Гуком в 1680 г.: из закона обратных квадратов следует, что орбита представляет собой коническое сечение, которое является эллипсом, если скорость планеты не превышает некоторой величины. Кроме того, в трактате выводились второй и третий законы Кеплера и рассматривалось движение снаряда в сопротивляющейся среде.

«De motu» открывается двумя определениями и двумя гипотезами. В Определении I Ньютон вводит в механику новое понятие: «Я называю то, посредством чего тело направляется или притягивается к некоторой точке, рассматриваемой как центр, центростремительной силой» [13, с. 277]. Позднее Ньютон объяснил, что назвал силу «центростремительной» (vis centripeta) no аналогии с гюйгенсовским термином «центробежная сила» (vis centrif uga).

Затем следует Определение II, касающееся прямолинейного движения: «Я называю то, посредством чего тело стремится продолжать пребывать в движении по прямой линии, силой тела или врожденной силой».

Гипотеза II расширяет это определение до фундаментального закона: «Под действием одной лишь врожденной силы каждое тело движется по прямой линии бесконечно, если только что-либо этому не препятствует» [13, с. 277].

В трактате сделана попытка вывести движение по орбите как следствие двух сил: врожденной силы, которая поддерживает прямолинейное движение, и центростремительной силы, которая его постоянно изгибает. Чтобы объединить эти две силы, Ньютон использует параллелограмм сил, который введен в трактат как Гипотеза III: «Под действием двух сил одновременно тело в данное время перемещается в то место, куда оно было бы перемещено этими силами, действующими раздельно и одна за другой в течение равных времен» [13, с. 278].

Теорема I рассматривает силу как последовательность дискретных импульсов, производимых в равные промежутки времени. Используя параллелограмм сил и элементарную геометрию треугольников, Ньютон показывает, что площади, заметаемые радиусом-вектором в последовательные равные интервалы, равны. Это утверждение справедливо и в предельном случае, когда треугольники становятся бесконечно малыми и многоугольник приближается к кривой. Таким образом доказывается справедливость первого закона Кеплера для траектории, которую описывает тело под действием одной внешней (центростремительной) силы.

В двух последующих теоремах, где речь идет о мере центростремительной силы, Ньютон использует другой подход к понятию силы и, следовательно, другую математику. Здесь действие силы рассматривается не как последовательность импульсов, а как непрерывное действие. В качестве математического аппарата используется метод флюксий, т. е. дифференциальное исчисление. В результате Ньютон получает, что движение под действием центростремительной силы является равноускоренным: «Путь, который тело проходит под действием центростремительной силы с момента начала движения, пропорционален квадрату времени» [13, с. 278].

Итак, Ньютон пользуется тремя различными концепциями силы: сила-импульс, производящая дискретное приращение движения (f = ?(mv)), непрерывно действующая сила, порождающая ускорение (f = ma), и, наконец, врожденная сила, понимаемая как внутренний движитель, которая поддерживает постоянную скорость движения (f = mv). Такая разноречивая трактовка не устраивала Ньютона, и в дальнейшем он переписывает свой трактат, стремясь установить единый подход к понятию силы. В третьем, окончательном варианте он заменяет Гипотезу II Законом II, который гласит: «Изменение состояния движения или покоя пропорционально движущей силе и производится по направлению прямой линии, по которой действует сила» [13, с. 298].

Как отмечает Уэстфолл, наличие в определении слов «состояние движения или покоя», которые подразумевают динамическую идентичность равномерного движения и покоя, характеризует первый шаг Ньютона назад к принципу инерции, который он отбросил около 20 лет назад [2, с. 414]. Законы III и IV — дальнейшие шаги в этом направлении. Закон III является формулировкой принципа относительности: движения тел друг относительно друга в данном пространстве будут теми же самыми вне зависимости от того, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно. Закон IV утверждает, что взаимодействие тел не изменяет состояние движения или покоя их общего центра тяжести. Закон I есть перефразированное Определение I первого варианта: под действием одной лишь врожденной силы тело движется равномерно и прямолинейно.

В этом наборе законов в основном уже содержится фундамент новой динамики. Ньютону остается более четко провести границу между врожденной силой и приложенной, а следовательно, более четко определить эти понятия. Он делает это в двух статьях, написанных сразу после трактата «De motu». В них он поясняет: «Присущая, врожденная и существенная сила есть способность, посредством которой тело продолжает пребывать в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, и она пропорциональна количеству тела» [13, с. 311]. Затем он уточняет, что врожденная сила есть характеристика не тела, а материи как таковой. Наконец, он предлагает для нее другое название: vis inertiae, или сила инерции. Уточняется и понятие приложенной силы: «Эта сила состоит в одном лишь действии и не остается в теле, когда действие заканчивается» [13, с. 318]. Итак, Ньютон приходит к осознанию двух важнейших понятий новой науки. С одной стороны, это понятие инерции, которая присуща материи и измеряется ее количеством, с другой — это понятие движущей силы, внешней по отношению к телу, которая может быть измерена по изменению движения, ею производимому. Правда, у него есть еще колебания относительно того, можно ли считать движение по окружности с постоянной скоростью равномерным движением, но в процессе уточнения понятия инерции он приходит к выводу, что этого делать нельзя, что движение по инерции необходимо должно быть прямолинейным. Именно новый взгляд на движение по окружности определил новую суть его орбитальной динамики, позволив ему в дальнейшем рассматривать изменение направления аналогично изменению скорости и осознать динамическую тождественность равномерного кругового движения и равноускоренного прямолинейного движения.

Когда Галлей прочел рукопись Ньютона, он сразу понял, что имеет дело с гениальной научной работой, и снова поспешил в Кембридж, чтобы вместе с Ньютоном ее обсудить. Он убедил Ньютона послать свое исследование в Королевское общество, но тот решил сначала дополнить его и расширить. Прошел год, прежде чем он смог послать его секретарю Общества. За это время девять страниц первоначального трактата превратились в две книги. Первую книгу Ньютон назвал «О движении тел» («De motu corporum»), и она впоследствии составила основу Книги I и Книги II «Начал». Вторая книга под заглавием «О системе мира» («De mundi systemate») была опубликована лишь после смерти Ньютона. Рукопись обеих книг была передана в университетскую библиотеку в качестве отчета о лекциях, которые Ньютон должен был читать в 1684, 1685 и 1687 гг.

С декабря 1684 г. Ньютон был буквально одержим работой над книгой, которую он назвал «Математические начала натуральной философии». Гук, а затем Галлей побудили его взяться за труд, революционное значение которого для науки он понимал лучше всех, а главное — теперь он был в состоянии его выполнить. Однофамилец Ньютона, его секретарь Гемфри Ньютон рисует в своих записках впечатляющий образ человека, целиком поглощенного своими исследованиями: «Его занятия были столь напряженными и серьезными, что он едва-едва ел, а часто и вовсе забывал о еде. Входя к нему в комнату, я часто видел, что еда осталась нетронутой, а когда я напоминал ему о ней, он отвечал мне: “Разве?” И подойдя к столу, съедал кусочек-другой, стоя... В некоторых редких случаях, когда он намеревался обедать в столовой колледжа, он выходил на улицу и вдруг поворачивал в другую сторону, затем останавливался, поняв, что ошибся, и быстро возвращался назад. Иногда вместо того, чтобы идти в столовую, он снова шел в свой кабинет... Случалось, что во время прогулок в саду он вдруг внезапно останавливался, резко поворачивался и взбегал по лестнице, как новый Архимед восклицая “Эврика!”. Затем он бросался к столу и начинал писать стоя, даже не позаботившись подвинуть к себе кресло» [2, с. 406]. Целью Ньютона было построение динамики как точной математической науки, чтобы затем с ее помощью указать путь решения конкретных физических и астрономических проблем. Эта задача была решена в поразительно короткий срок: 5 апреля 1687 г. Галлей, который взял на себя все хлопоты по публикации «Начал» и даже заплатил издателю из своего кармана, сообщил Ньютону, что получил «последнюю часть его божественного трактата». 5 июля 1687 г. книга была напечатана. Ньютон впоследствии постоянно обращался к работе над ней, внося изменения и поправки. Второе издание «Начал» вышло в свет в 1713 г. под наблюдением Роджера Котса, а третье — в 1724 г. под наблюдением Генри Пембертона.

^{Титульный лист «Математических начал натуральной философии»}

Первое издание в ряде пунктов существенно отличалось от последующих. Например, в нем отсутствовала знаменитая фраза «Гипотезам не место в натуральной философии», как, впрочем, и все целиком «Общее поучение», из которого она взята. Более того, Книга III начиналась с «Гипотез», которые в дальнейшем были частично исключены, а частично переработаны и названы «Явлениями» или же «Правилами философствования». Кардинальной переработке подверглась вся Книга II. Очевидно, Ньютон не был полностью удовлетворен тем, как были им первоначально написаны некоторые разделы: не все важные проблемы ему удалось решить полностью, это были в первую очередь вопросы, относящиеся к траектории комет, движению Луны и так называемой проблеме Кеплера. Наконец, появились новые астрономические данные, которые следовало учесть,— сообщения Дж. Кассини о спутниках Сатурна и таблицы Флемстида.

«Начала» состоят из трех больших частей, или Книг. В Книге I «О движении тел» Ньютон шаг за шагом развивает основы классической механики, в результате получая достаточно полную систему определений и теорем. Затем он использует полученную теорию для решения задач Книги III «О системе мира» — расчета движения планет, спутников и комет. Книга II, имеющая тот же заголовок, что и Книга I, — «О движении тел», стоит особняком в общем плане его труда и посвящена механике сплошных сред, в основном гидродинамике.

Книга I предваряется двумя разделами. В первом из них даются определения основных физических понятий: массы, количества движения, инерции (которую Ньютон называет vis insita, т. е. «врожденная сила»), приложенной силы и центростремительной силы.

«Определение I. Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее» [15, I, с. 22].

«Определение II. Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе» [15, I, с. 23].

«Определение III. Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 24-25].

«Определение IV. Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [15, I, с. 25].

Первое среди этих определений, т. е. определение массы, неоднократно вызывало возражения. Многие видели в нем порочный круг: плотность есть количество материи на единицу объема. Э. Мах утверждал, например, что формулировка Ньютона равносильна констатации, что «масса есть масса», а А. Зоммерфельд назвал ньютоново определение «бессодержательным». Возможно, Ньютон действительно не очень четко сформулировал это понятие. Однако для него это не было столь существенным. Важно, что он все прекрасно понимал. В трактате «О тяжести и равновесии жидкостей», написанном в начале 70-х годов, мы находим следующее определение плотности: «Тела являются более плотными, если их инерция более сильная, и более разреженными, если их инерция более слабая» [16, с. 150].

Затем Ньютон вводит понятия абсолютного времени и абсолютного пространства. Он вынужден был прибегнуть к этому, так как считал, что Солнечная система покоится, а не движется равномерно. Кроме того, он думал, что существование абсолютного пространства обнаруживается в опытах вращательным движением.

Во втором предварительном разделе он дает «Аксиомы, или Законы движения» — то, что сегодня мы называем законами Ньютона:

«Закон I. Всякое тело продолжает пребывать в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние.

Закон II. Изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон III. Действию всегда есть равное противодействие, или: действия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны» [17, I, с. 54—55].

За изложением Законов следует изложение Следствий — формулируется правило параллелограмма для сложения сил, законы сохранения количества движения и скорости центра тяжести, а также механический принцип относительности.

Отметим, что ньютоновская формулировка второго закона отличается от привычной для нас записи F = ma. Более того, Ньютон не говорит, как именно действует сила, и по-видимому, закон формулируется в предположении об импульсе силы. «Но по всему тексту “Начал” Ньютон использует закон для непрерывно действующей силы, включая тяготение. В действительности для Ньютона понятия импульса и постоянно действующей силы были инфинитезимально эквивалентны. Таким образом, существуют два условия действия сил во втором законе. Соответственно этот закон Ньютона может быть записан как f ~ d(mv) и в другой форме как f ~ d(mv)/dt, причем для этих двух видов записи требуется различный коэффициент пропорциональности. Две формулировки закона могут считаться эквивалентными вследствие ньютоновского понятия о равномерном течении времени, что делает dt некоторой вторичной константой, которая может быть произвольно включена в коэффициент пропорциональности» [18, с. 70].

Книга I открывается разделом, посвященным систематическому изложению теории пределов, которую Ньютон использует в «Началах». Доказательства теорем в этом разделе, как и во всей книге, даются в синтетико-геометрической форме, однако при внимательном чтении видно, «что скрытое математическое здание построено в манере целиком не-классической, при помощи предельных отношений бесконечно малых приращений рассматриваемых отрезков, координаты которых изменяются с изменением независимого параметра — времени» [6, VI, с. 24].

В последующих разделах доказывается второй закон Кеплера, а дальше рассматриваются различные задачи о движении тела в поле центральных сил. Среди них содержится ответ на вопрос, который Ньютону в свое время задавали Гук и Галлей, а именно, доказывается, что если тело движется в поле центральной силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, то его орбитой будет эллипс, парабола или гипербола. В разделе VIII получен результат, эквивалентный доказательству закона сохранения полной энергии в поле центральной силы, хотя в явном виде формулировки такой теоремы нет. В разделе XI методами теории возмущений рассматривается задача трех тел. В конце Книги I приводится теорема о том, что две тяжелые сферы притягиваются друг к другу как две точечные массы, а затем излагается теория притяжения эллипсоидов.

Книга II, хотя и имеет тот же заголовок, что и Книга I — «О движении тел», отнюдь не является ее продолжением. Это совершенно отдельное сочинение, посвященное механике жидкости и газа, во времена Ньютона почти совершенно не изученной и не имевшей того теоретического фундамента, какой в механике точки составляли работы Кеплера, Галилея, Гюйгенса и других ученых. Эта Книга, пишет К. Трусделл, один из крупнейших современных специалистов по механике и ее истории, «является полностью оригинальной и во многом ошибочной. Дедуктивный метод, который столь замечательно представлен в Книге I, здесь отброшен, и с каждым новым рассуждением выдвигаются новые гипотезы. Здесь Ньютон проявляется во всем величии своего гения. Хотя его решения не всегда правильны, все же он — первый, кто выдвинул эти проблемы и энергично принялся за их разрешение» [19, с. 91]. Как и во многих других своих работах по истории науки, Трусделл в этом высказывании чересчур категоричен. Книга II оказывается отнюдь не столь «ошибочной»: в ней сформулирована теория подобия, рассмотрено распространение волн, причем Ньютон дает метод определения длины волны, устанавливает соотношения между длиной волны, ее скоростью и частотой колебаний; получен закон сопротивления для тела, движущегося в жидкости (сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела).

Последние несколько страниц Книги II составляет раздел «О круговом движении жидкостей». Возможно, что именно из-за этого раздела Ньютон поместил Книгу II в «Начала». В нем подвергается анализу представление Декарта, что все небесные тела движутся, увлекаемые вихрями тонкой материи, и доказывается, что такое представление не соответствует действительности. Последняя Теорема XLI, которую Ньютон доказывает в этом разделе, гласит: «Тела, которые при переносе вихрем описывают постоянно одну и ту же орбиту, должны обладать одинаковой с вихрем плотностью и двигаться по тому же закону, что касается скорости и ее направления, как и части самого вихря» [15, II, с. 445]. Следовательно, говорит Ньютон, «планеты не могут быть переносимы материальными вихрями... и гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономическим наблюдениям и приводит не столько к объяснению движения небесных тел, сколько к их запутыванию» [15, II, с. 445—446].

Ньютон не зря назвал Книгу III «О системе мира». Действительно, он свел в единую систему законы природы и способы математических вычислений и показал в заключительной части своего труда, что большинство движений, с которыми мы сталкиваемся во Вселенной — от приливов до перемещений небесных тел, определяются одной-единственной силой, которую он назвал тяготением. Простота исходных предпосылок и неожиданное разнообразие следствий (как простых, так и отнюдь не тривиальных) — вот в чем сила ньютонова метода.

«Правила философствования («Regulae philosophandi» — правильнее перевести как «Правила рассуждений в науке»), открывающие Книгу III, отсутствовали в первом издании. Они представляют собой методологические принципы, которым должен следовать ученый в своих исследованиях: это видоизменение «бритвы Оккама», соединенное с принципом простоты и представлением о том, что все в Природе построено по аналогии.

Затем в Книге перечисляются так называемые «Явления», т. е. экспериментальные факты, которые должны получить теоретическое объяснение:

Явление I. Спутники Юпитера подчиняются третьему закону Кеплера.

Явление II утверждает то же самое для спутников Сатурна.

Явление III. Пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) обращаются вокруг Солнца.

Явление IV. Пять планет движутся в соответствии с третьим законом Кеплера.

Явление V. Второй закон Кеплера выполняется, если за центр притяжения выбрать Солнце, а не Землю.

Явление VI. Второй закон Кеплера справедлив для Луны.

В последующих шести теоремах доказывается справедливость утверждений, содержащихся в «Явлениях», на основе результатов Книги I. В «Поучении», относящемся к тому же разделу, Ньютон подчеркивает, что причина центростремительной силы, посредством которой небесные тела удерживаются на своих орбитах, есть тяготение, а в Теореме VII формулирует закон всемирного тяготения: «Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них» [15, II, с. 464], добавляя, что сила тяготения по доказанному ранее обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Поскольку все небесные тела тяготеют друг к другу, законы Кеплера являются приближенными. Затем рассматриваются различные характеристики Солнечной системы и, наконец, количественная теория Луны и теория комет.

Заканчиваются «Начала» «Общим поучением» (отсутствовавшим в первом издании); оно подчеркивает антикартезианскую направленность книги. «Гипотеза вихрей подавляется многими трудностями. Чтобы планета могла описывать радиусом, проведенным к Солнцу, площади, пропорциональные времени, надо, чтобы времена обращений частей вихря были пропорциональны квадратам их расстояний от Солнца. Чтобы времена обращений планет находились в полукубическом отношении их расстояний до Солнца, и времена обращений частей вихря должны находиться в полукубическом же отношении их расстояний до Солнца. Чтобы меньшие вихри вокруг Сатурна, Юпитера и других планет могли сохранять свое обращение и спокойно плавать в вихре Солнца, времена обращения частей солнечного вихря должны быть равны между собой. Вращение Солнца и планет вокруг своих осей, которое должно бы согласоваться с движением вихрей, совершенно не согласуется с этими пропорциями. Движения комет вполне правильны и следуют тем же законам, как и движения планет, и не могут быть объяснены вихрями. Кометы переносятся по весьма эксцентрическим орбитам во всех областях неба, чего быть не может, если только вихрей не уничтожить» [15, II, с. 588].

Из всего «Общего поучения» широкую известность получила лишь фраза «гипотезам не место в экспериментальной философии», однако подчеркнем, что большая часть «Поучения» посвящена теологическим рассуждениям о месте и действиях Бога во Вселенной, а заканчивается этот раздел гипотезой о существовании эфира, который является причиной самых разнообразных явлений природы.

К моменту завершения «Начал» Ньютон уже более 10 лет был членом Королевского общества и был известен своими работами по оптике и математике. Но в Европе, да и в Англии, насчитывалось немало людей выдающихся способностей, добившихся замечательных результатов. Гюйгенс, Лейбниц, Бойль, Барроу, Гук — все они были членами Королевского общества, и их достижения создали им известность и славу ничуть не меньше той, которой пользовался Ньютон.

Еще в 1675 г. Ньютон должен был предпринимать отчаянные усилия, чтобы получить позволение остаться профессором, не принимая сана[20]. Лишь при содействии Барроу специальным указом Ньютон (а также все последующие лукасовские профессора) был освобожден от обязанности принять сан. Но с появлением «Начал» положение изменилось — все было поставлено на свои места. В глазах научного сообщества Ньютон был тем, кто показал, как необходимо строить исследование, чтобы добиться количественных результатов; его метод стал образцом для работ в любой области науки, не говоря уже о том, что его расчеты движения небесных тел, проделанные на основе небольшого числа фундаментальных законов и аксиом, воспринимались как поразительное достижение человеческого гения — чтобы это понять, не надо было быть ученым.

Когда Ньютон закончил «Начала», ему было всего 44 года, он находился в середине своего жизненного пути, но вне всякого сомнения — это была вершина. Поразительно, как быстро он получил все внешние свидетельства высокой оценки своего гениального труда. Одна за другой на него посыпались почести и награды: 1699 г. — член Парижской академии наук, 1700 г. — член совета Королевского общества, 1701 г.— член парламента (во второй раз!), 1703 г.—президент Королевского общества и, наконец, в 1705 г. королева Анна возводит его в рыцарское достоинство.

Ньютон ревниво относился к своим обязанностям. Правда, парламентская деятельность ограничивалась лишь участием в заседаниях — политические события мало его заботили. В то самое время, когда его однофамилец, олдермен Сэмюэль Ньютон оповестил жителей Кембриджа, что в Англии воцарился новый король — Яков II, Ньютон заканчивал рукопись «Начал» и не обратил на сообщение никакого внимания. Но в делах, касающихся научной жизни, он действовал с тем же упорством и энергией, что и в своих исследованиях. По словам Коэна, он правил Королевским обществом железной рукой — он упорядочил процедуру собраний и спас Общество от банкротства, приведя в порядок его финансовые дела.

В 1696 г. Ньютон оставляет Кембридж и, передав лукасовскую кафедру своему ученику Уистону, переезжает в Лондон. Па ходатайству высокопоставленного вельможи Чарлза Монтегю он назначается смотрителем, а впоследствии директором Монетного двора, его жалованье возрастает в 10 раз. Новая должность означала возможность абсолютно независимой и более чем обеспеченной жизни. Ни лекции, ни строгие формальности кембриджского университетского клана не мешали ему теперь заниматься наукой. Но Ньютон энергично принимается за новое для него дело. Его директорство совпало по времени с знаменитой в истории Англии перечеканкой монеты. Хотя, по-видимому, он не внес в технологию никаких улучшений, производительность Монетного двора увеличилась при Ньютоне в 8 раз. Благодаря своей должности Ньютон пользовался значительным влиянием, и с его помощью его друзья Галлей и Дэвид Грегори получили высокооплачиваемые посты при Монетном дворе.

Ньютон был человеком твердых моральных принципов и, не колеблясь, поднимал свой голос в их защиту. Известен случай, когда он выступил против короля, пожелавшего, вопреки университетскому уставу, присудить ученую степень католическому монаху Альбану Френсису. По этому поводу Ньютон писал: «Всякий человек по законам божеским и человеческим обязан повиноваться законным приказаниям короля. Но если его величеству советуют потребовать нечто такое, чего нельзя сделать по закону, то никто не может пострадать, если пренебрежет таким требованием» [4, II, с. 467].

История развития европейского научного сообщества в начале XVII в. омрачена враждой между Ньютоном и другим великим мыслителем эпохи — Лейбницем. Эта вражда возникла в результате спора о приоритете в открытии исчисления бесконечно малых. Сегодня нет сомнений в том, что изобретение дифференциального и интегрального исчисления было сделано независимо Лейбницем и Ньютоном, более того, сам подход к проблеме был у них различным.

Имя Лейбница стало известно Ньютону с начала 70-х годов. В 1673 г. Лейбниц приехал в Лондон, и Королевское общество избрало его своим членом за создание счетной машины, более совершенной, чем машина Паскаля. Ньютон, который стал членом Общества годом раньше, в это время находился в Кембридже и встретиться с ним не смог. Через три года Лейбниц снова посетил Англию, но с Ньютоном опять не увиделся, зато между ними завязалась переписка по математическим вопросам. Коллинз, бывший своеобразным посредником между учеными, дал Лейбницу во время его визита посмотреть трактат «Об анализе», где содержались результаты Ньютона, связанные с разложением функций в степенные ряды, а также заметки о методе флюксий. Тот внимательно прочел работу и сделал ряд выписок.

В те годы еще ничто не предвещало их будущих враждебных отношений. Лейбниц в письме к Ольденбургу выражал свое восхищение талантом Ньютона. «Открытия Ньютона, — писал он, —  подстать его гению, который так великолепно проявился в оптических экспериментах и в конструкции его катадиоптрической трубы» [4, II, с. 65].

К моменту написания «Начал» положение изменилось. Изменилось и положение Ньютона и Лейбница в житейском смысле: в то время как Ньютон принимал награды и должности и стал по-настоящему независимым человеком, Лейбниц целиком зависел от своего сиятельного патрона, который к тому же относился к нему достаточно высокомерно. Когда умер Ньютон, на его памятнике в Вестминстерском аббатстве — усыпальнице великих людей Англии — были начертаны слова: «Пусть возрадуются смертные, что среди них жило такое украшение рода человеческого». А когда похоронили Лейбница в скромной ганноверской церкви, то на могильной плите поместили простую надпись: «ossa Leibnitii» — «прах Лейбница».

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) родился в Лейпциге в семье университетского профессора нравственной философии. Еще мальчиком он самостоятельно изучил латынь, познакомился с сочинениями классиков античности и трудами ученых-схоластов. Пятнадцати лет он поступил в лейпцигский университет, где изучал право, философию и математику. В 1666 г. Лейбниц получил степень доктора «обоих прав», и ему сразу же предложили профессуру. Но он отказался от этого предложения и уехал в Нюрнберг, где познакомился с влиятельным политическим деятелем, курфюрстом Майнца Бойнебургом и поступил к нему на службу. В 1672—1673 гг. по поручению курфюрста он посещает Париж и Лондон. Эти поездки имели для Лейбница большое значение: он знакомится со многими выдающимися учеными, общение с которыми, в первую очередь с Гюйгенсом, дало толчок его собственным открытиям. После смерти Бойнебурга он переезжает в 1676 г. в Ганновер ко двору курфюрста, получив должность советника и библиотекаря. В это самое время он переписывается с Ньютоном по вопросам дифференциального исчисления.

^{ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ}

В отличие от кинематического подхода Ньютона к проблеме Лейбниц использовал чисто геометрическое представление. Рассматривая задачу о проведении касательной к кривой, он использовал так называемый характеристический треугольник, образованный разностью абсцисс dx и разностью ординат dy двух бесконечно близких точек кривой, а также отрезком дуги ds, соединяющим эти точки. Позднее он показал, что производная dy/dx есть тангенс угла наклона касательной к кривой. Лейбниц вывел простейшие правила дифференцирования и открыл разложение в ряд, названный его именем.

Первые результаты своих исследований по основам дифференциального исчисления он изложил в статье «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для них род исчисления». Статья была опубликована в 1684 г., т. е. еще до того, как были напечатаны аналогичные работы Ньютона.

Вслед за ней вышли в свет другие работы Лейбница, в которых содержалась дальнейшая разработка проблем математического анализа. Пользуясь открытыми им методами, Лейбниц смог решить ряд важных задач, долгое время не поддававшихся усилиям ученых, например задачу о брахистохроне: оказалось, что кривая, по которой тело в минимальное время проходит путь между двумя точками, расположенными одна ниже другой, есть дуга циклоиды. Лейбниц ввел в обиход целый ряд современных терминов: «дифференциальное исчисление», «функция», «алгоритм», «координаты». Ему также принадлежит заслуга введения современной символики: он стал обозначать интеграл знаком «?», а дифференциал — буквой «d», и в целом исчисление бесконечно малых стало развиваться по пути, указанному Лейбницем.

Человек разнообразных дарований и интересов, он вошел в историю как великий философ, пытавшийся раскрыть сущность бытия в своем учении о монадах; всю жизнь он был одержим идеей создания универсальной науки, в основе которой лежал бы общий метод овладения законами природы, указывающий путь к открытиям и пониманию единства Вселенной.

К концу XVII в. Лейбниц получает мировое признание. В 1673 г. он избирается членом Королевского общества, а спустя два года — членом Парижской академии наук. В 1700 г. Фридрих II поручает ему создание Берлинской (Прусской) академии, и Лейбниц становится ее первым президентом. Он содействовал также организации Петербургской академии наук, неоднократно беседовал об этом с Петром I и составил первый план ее устройства.

Относительно спора Лейбница с Ньютоном прежде всего следует сказать, что Ньютон был чрезвычайно чувствителен ко всему, что затрагивало его приоритет в научных открытиях. Из-за этого у него были испорчены отношения с Гуком: сначала предметом разногласий были оптические исследования, а после публикации «Начал» — теория тяготения. Ньютон отказывался признать вклад Гука в решение этой проблемы, что было, конечно, несправедливо.

В ссоре с Лейбницем повинен не один Ньютон, а все его окружение. Первое обвинение Лейбница в плагиате принадлежит Фацио де Дюилье, к которому затем присоединились Джон Кейл и другие ньютонианцы. Ньютон легко согласился с их мнением и стал утверждать, что Лейбниц присвоил себе заслугу создания нового анализа, воспользовавшись текстом работы, которую видел в 1676 г.

Как мы знаем сегодня, оригинальность открытий Лейбница не подлежит сомнению, и когда разгорелся этот спор, Лейбниц призвал Королевское общество беспристрастно во всем разобраться. Ньютон, который к тому времени уже был президентом Общества, назначил комиссию из своих приверженцев. Более того, теперь стало известно, что он сам написал заключение комиссии под заглавием «Переписка Джона Коллинза и других о новом анализе», которое представил как беспристрастное решение в его пользу. «Мы считаем,— говорилось в заключении,— Ньютона первым изобретателем и думаем, что Кейл, утверждая это, не сделал ничего несправедливого по отношению к Лейбницу» [См. 20, с. 183]. Ньютон на этом не остановился. Когда был напечатан полный текст «Переписки», к нему было добавлено анонимное предисловие «К читателю», также написанное Ньютоном. «Этот эпизод свидетельствует о беспримерной тщательности в деле уничтожения противника, и Уистон сообщает... что Ньютон “имел удовольствие” сказать Сэмюэлю Кларку, что “своим ответом он разбил сердце Лейбница“» [18, с. 85].

Для Лейбница исход дела и на самом деле обернулся трагедией. Когда ганноверский курфюрст стал в 1714 г. королем Англии Георгом I, Лейбниц пытался получить место при его дворе, но получил отказ, встретив резкий отпор со стороны английских ученых. Вскоре он умер.

Ньютон, по-видимому, был искренне убежден в своей правоте. К этому времени были опубликованы его математические работы «О квадратуре кривых» (1704) и «Всеобщая арифметика» (1707); вместе с «Началами» они создали ему на родине славу первого математика, и Ньютон не допускал мысли, что кто-нибудь может быть равным ему в этой области.