5
Итак, 1 января 1600 г. Кеплер отправился в Прагу — именно здесь ему предстояло начать работу, завершившуюся открытием знаменитых трех законов, на основе которых строится небесная механика. Напомним, что, согласно первому закону, планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце; второй закон гласит, что радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, в равные времена заметает равные площади, и, наконец, третий закон утверждает, что квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их средних расстояний от Солнца.
Первые два закона содержались в книге Кеплера, вышедшей в 1609 г. под характерным названием: «Новая астрономия, причинно обоснованная, или физика неба, изложенная в исследованиях движения планеты Марс по наблюдениям благороднейшего мужа Тихо Браге». На самом деле второй закон был открыт раньше первого, а оба они появились в результате изучения движения Марса, чем Кеплер занялся в Праге, говоря его словами, «по воле Божественного Провидения».
Марс представлял наиболее сложную проблему для астронома-теоретика из-за того, что его орбита значительно больше отличалась от круговой по сравнению, скажем, с орбитой Луны или Земли. Сначала проблемой Марса занимался Лонгомонтан, другой ассистент Тихо, но впоследствии, видя, что трудности для него являются непреодолимыми, Тихо перепоручил ее Кеплеру. Кеплер с воодушевлением принялся за работу, отчетливо понимая, что экспериментальный материал, собранный Тихо Браге, дает ему уникальную возможность найти, наконец, решение этой проблемы. Однако первые попытки построить адекватную модель движения Марса с традиционным использованием экванта для круговой орбиты приводят Кеплера к неудаче, хотя он с первых шагов и устанавливает один факт фундаментальной важности: орбита Марса должна быть отнесена к действительному положению Солнца, а не к центру земной орбиты, как делалось обычно всеми астрономами до него.
Потерпев неудачу с использованием круговой орбиты для Марса, Кеплер решил более точно определить элементы его орбиты. И здесь он снова сталкивается с целым рядом трудностей. Дело в том, что астрономам приходится наблюдать планеты с движущейся Земли, и если неизвестна ее орбита и расстояние Солнце — Земля на каждый момент времени, то любые как угодно точные наблюдения других планет окажутся бесполезными, если ставить перед собой задачу определения орбиты этих планет.
а) Триангуляция орбиты Земли
б) Схема экванта
Итак, необходимо было определить движение самой Земли вокруг Солнца. «Это было бы просто невозможно сделать, если бы, кроме Солнца, Земли и неподвижных звезд, не существовало бы других планет. Если бы последних не было, то из опытов можно было бы определить только годичное направление Солнце — Земля (т. е. видимое движение Солнца относительно неподвижных звезд). Можно было бы установить, что это направление всегда лежит в неизменной по отношению к неподвижным звездам плоскости, по крайней мере с достигаемой тогда точностью наблюдений, проводимых без применения телескопа. Можно было также определить и каким образом прямая Солнце — Земля вращается вокруг Солнца. Было установлено, что угловая скорость этого движения в течение года меняется по определенному закону. Но этого было недостаточно, так как оставался неизвестным закон годичного изменения расстояния Солнце — Земля. Только после установления этого закона можно было найти истинную орбиту Земли и способ ее прохождения» {10, IV, с. 122}.
Решение Кеплером этой задачи Альберт Эйнштейн (из статьи которого о Кеплере взяты эти строки) считает одним из крупнейших достижений науки, поистине заслуживающим восхищение. Кеплер воспользовался Марсом в качестве «своеобразного триангуляционного пункта», с помощью которого оказалось возможным определить орбиту Земли. Действительно, предположим, что Марс занимает некоторое неподвижное положение М в плоскости земной орбиты. Тогда легко определить направление SM (Солнце — Марс) относительно неподвижных звезд. Для этого нужно лишь отметить то положение, когда Земля, Солнце и Марс лежат на одной прямой, что несомненно произойдет в некоторый момент времени. В другой момент времени Земля уже не будет лежать на прямой SM, а будет находиться в некоторой точке T1 своей орбиты. Для этого момента также можно определить направление ST1 и T1M относительно неподвижных звезд. Тогда в треугольнике SMT1 будут известны все углы и одна сторона MS неизменна— ее величину можно выбрать произвольно, и, следовательно, в выбранном масштабе можно получить расстояние T1M (Марс — Земля). Эту процедуру можно повторить для любого момента времени, получив достаточное число точек для определения земной орбиты.
Однако, как мы знаем, Марс не является неподвижным, но движется вокруг Солнца. И тем не менее Кеплер сумел использовать описанную схему, найдя гениально простое решение. Известно, что Марс обращается вокруг Солнца за вполне определенное время, его период равен 687 суткам, поэтому если за начало отсчета выбрать момент, когда Марс, Солнце и Земля лежат на одной прямой, то следующая точка наблюдения должна отстоять по времени от первой на 687 суток. За это время Марс вернется в свое первоначальное положение, а Земля займет некоторое другое положение, отличное от первого. Следующее положение Земли определится временем, равным двум периодам Марса, и т. д.
Поступая таким образом, Кеплер смог определить движение Земли. Но не следует думать, что Кеплер получил в результате эллиптическую орбиту, хотя такое впечатление может сложиться при чтении многих популярных статей и книг о Кеплере. На самом деле вследствие очень малого эксцентриситета земной орбиты Кеплер не смог установить, что орбитой Земли является эллипс, и по-прежнему считал, что она представляет собой окружность. Тем не менее он был в состоянии с достаточно хорошей точностью определить скорость Земли на орбите в зависимости от ее местонахождения на ней. В частности, он показал, что скорость движения Земли неодинакова для разных частей орбиты, поэтому теорию движения Земли следует строить аналогично тому, как это делается для других планет.
До исследований Кеплера была повсеместно принята та точка зрения, что Земля в отличие от других планет движется равномерно по орбите;, в то время как для других планет Птолемеем было введено понятие экванта — точки, из которой неравномерное движение планеты кажется равномерным. Кеплер показал, что движение Земли также находится в согласии с гипотезой экванта, являясь, по сути, неравномерным. Он предположил, что орбита Земли должна быть эксцентрической (по отношению к Солнцу) окружностью, центр которой делит пополам линию, соединяющую Солнце с центром равноуглового движения (эквантом). Более того, он показал, что вблизи апсид[3] время, затрачиваемое Землей на прохождение равных дуг орбиты, пропорционально расстоянию от Солнца. Затем Кеплер без колебаний распространил эту закономерность на всю орбиту.
Запомним эту первую гипотезу Кеплера на пути к созданию закона площадей: время пропорционально расстоянию от Солнца. Чтобы эта гипотеза в его собственных глазах выглядела правдоподобной, Кеплер должен был наполнить ее неким физическим содержанием. Согласно его представлениям, источником движения планет является Солнце, которое, вращаясь, испускает потек особых частиц (species immateriata), которые, сталкиваясь с планетой, движут ее по окружности. Однако поток таких частиц может обусловить лишь движение по такой окружности, у которой Солнце располагается в центре. Чтобы объяснить движение планеты по окружности, эксцентрической по отношению к Солнцу, Кеплер наделяет планету собственной способностью взаимодействия с потоком (species immateriata), которая дает ей возможность то удаляться, то приближаться к Солнцу. Действие этой способности, или силы («интеллигенции»), планеты аналогично действию руля у лодки: в зависимости от поворота руля лодка может плыть под различным углом к течению реки.
Кеплер пытался детально объяснить механизм действия собственной силы планеты с помощью модели, использующей движение по эпициклу и деференту (такая модель, как мы указывали ранее, эквивалентна модели эксцентрической окружности), но немедленно столкнулся с проблемой, решить которую был не в состоянии: как сила может двигать планету (и при том неравномерно!) вокруг центра, существующего лишь в воображении? Кеплеру было очевидно, что модель Птолемея не может здесь быть путем к объяснению, а другого пути пока он не видел. Отложив на время детали физического объяснения, он удовлетворился тем, что принял, что движение планет обусловлено двумя силами — силой, исходящей от Солнца посредством действия species immateriata, которая движет планету по окружности с Солнцем в центре, и собственной силой планеты, которая корректирует первоначальное движение таким образом, что планета начинает двигаться по окружности, эксцентрической по отношению к Солнцу.
Удовлетворившись на время этим вариантом физического объяснения, Кеплер обратился к проверке своей первой гипотезы (время пропорционально расстоянию), распространенной на всю орбиту Земли, путем сравнения расчетных и наблюденных значений истинной аномалии.[4] Кеплеру было чуждо понятие мгновенной скорости, и в соответствующих местах он всегда говорит о времени, требуемом для прохождения данной дуги, точно так же: время для него всегда представлялось не непрерывно текущей координатой, а последовательностью конечных временных промежутков (в полном соответствии с традицией средневековой физики).
К выводу закона расстояний
К теореме о мере суммы расстояний
Поскольку время пропорционально расстоянию, то любой промежуток времени, согласно Кеплеру, будет измеряться суммой всех расстояний, содержащихся в секторе соответствующей дуги. Затем рассуждения Кеплера можно представить следующим образом. Пусть окружность разделена на 360 равных частей, так что каждому элементарному углу ??i (эксцентрической аномалии), равному ?/180, соответствует расстояние ri от Земли до Солнца. Тогда время, потраченное планетой на перемещение ? от афелия до любой точки G, относится ко времени полуоборота как сумма расстояний, содержащихся в эксцентрическом секторе GAC, к сумме расстояний, содержащихся в половине эллипса, т. е.
(радиус круга принимается за единицу), откуда
Замечательно, что это уравнение допускает следующую интегральную интерпретацию:
где r — расстояние от Земли до Солнца, ? — эксцентрическая аномалия (измеренная от афелия), e — эксцентриситет и с — константа, равная
определяемая из условия: при ? = ? t = ?.
Конечно, Кеплер не был в состоянии вычислить получающийся интеграл, но интересно то, что он все-таки связывал величины своих сумм с площадью фигуры, ограниченной конхоидой.
Процедура отыскания t для данной дуги оказалась, как можно видеть из полученного уравнения, весьма трудоемкой, ибо для этого необходимо было подставить в него значения сразу всех расстояний, и поэтому Кеплер стал искать другой путь оценки суммы расстояний. Естественно, что ему пришло в голову оценивать сумму расстояний, содержащихся в секторе эксцентрика, по его площади. Но при этом он отчетливо понимал, что площадь эксцентрического сектора не может быть точной мерой рассматриваемой суммы. В доказательство он приводил следующее рассуждение. Пусть дан сектор BmСА, соединим С с В и рассмотрим треугольник ABC. В нем сумма сторон АВ+АС всегда больше стороны ВС. Но суммы всех линий, аналогичных ВС, будут иметь мерой площадь круга, в то время как сумма всех прямых, аналогичных АВ и АС, представляющая полную сумму расстояний, будет больше первой. Поэтому площади эксцентрических секторов представляют всего лишь приближенную меру суммы расстояний.
Метод оценки суммы расстояний по площади сектора, указывает Кеплер, содержит две неточности: во-первых, предполагается, что орбита планеты есть окружность, во-вторых, что площадь эксцентрического сектора не является точной мерой суммы расстояний от Солнца. Однако он добавляет, что в главе 59 «Новой астрономии», где вводится эллиптическая орбита, эти ошибки уничтожаются «как по волшебству». Ряд комментаторов неправильно интерпретирует это утверждение Кеплера, полагая, что доказательство закона площадей в главе 59 основано на взаимно компенсирующихся ошибках. (Заметим к этому, что Деламбр, проверивший кеплеровские вычисления, обнаружил, что Кеплер действительно допустил ряд ошибок в расчетах, которые, взаимно уничтожившись, дали в конце концов правильный результат.) На самом деле ошибки, о которых говорит Кеплер (и те, о которых говорит Деламбр), не имеют отношения к корректности доказательства.
Смысл этого замечания Кеплера в том, что если принять орбиту за эллипс и выбрать точную меру суммы расстояний, то закон площадей, введенный неявно в главе 40 «Новой астрономии» в качестве приближенного закона, станет вполне точным. Однако к тому времени, когда Кеплер впервые осознал возможность использования площади эксцентрического сектора в качестве меры суммы расстояний, ни то, ни другое еще не было сделано. Он открыто призывал математиков присоединиться к нему в усилиях отыскать точную меру суммы расстояний, а пока принимал, что мера времени t, потребного для перемещения планеты по дуге CG, может быть выбрана как ? + e?sin?, так как площадь сектора GCA есть ? ? СР + e sin ?). Более того, он указывал, что этот «неточный метод решения уравнения на основе физической гипотезы достаточен для орбиты Солнца или Земли».
Действительно, для орбиты Земли, обладающей относительно малым эксцентриситетом, наблюдения довольно прилично сходились с расчетами, но уже для Марса, у которого эксцентриситет в 5,5 раз больше, расхождение данных наблюдения с расчетами истинной аномалии, основанными на законе площадей и гипотезе круговой орбиты, получалось равным 8 минутам. Такое расхождение до Кеплера могло вполне считаться удовлетворительным, так как 10 минут было обычной точностью наблюдений во времена Коперника, но Кеплер не мог этим удовлетвориться. «Благодаря божественной щедрости нам был дарован столь скрупулезнейший наблюдатель в лице Тихо Браге, что его наблюдения доказывают ошибочность этого птолемеевского расчета для Марса с расхождением в 8 минут; нам следует с благодарностью принять этот подарок Господень и пестовать <его>… Теперь, поскольку невозможно не обратить на это внимание, одни эти восемь минут указывают путь к перестройке всей астрономии»[5] {6, III, с. 258}.
Получив расхождение в 8 минут, Кеплер заметил, что оно не могло возникнуть в результате ошибки в законе площадей: во-первых, оно было слишком большим, а во-вторых, — и это главное — оно было противоположно по знаку тому, которое должно было бы возникнуть из-за неточности в выборе меры суммы расстояний. Поэтому Кеплер пришел к выводу, что окружность не является истинной формой орбиты Марса. Сравнивая положения Марса, рассчитанные на основе гипотезы о круговой эксцентрической орбите, с тремя наблюденными положениями, он нашел, что эти наблюденные положения лежат внутри круга. Так Кеплер пришел к предположению, что орбитой планеты является овал.
Приняв, что орбитой Марса является овал, Кеплер столкнулся с необходимостью вычисления площадей секторов овала, чего он делать не умел. О задаче вычисления площадей секторов овала Кеплер писал Фабрициусу в июле 1603 г.: «Если бы фигура была точным эллипсом, то Архимеда и Аполлония было бы достаточно».
Единственное, что ему оставалось, это вычислять площади приближенно, заменив овал эллипсом. Так он и поступил. Надо отметить, однако, что эллипс, аппроксимирующий овал, не совпадал с истинной эллиптической орбитой, а помещался внутри нее. С другой стороны, Кеплер не был вполне уверен в правомочности такой аппроксимации, так как и без того площадь сектора являлась лишь приближенной мерой суммы расстояний, и в своем исследовании овальной орбиты предпочитал работать непосредственно с расстояниями.
В конце 1604 г. Кеплер пришел к выводу, что его предположение о данной овальной форме орбиты неверно, так как получались слишком большие ошибки в расчетах по сравнению с наблюдениями. Более того, оказалось, что для круга и для овала ошибки в значениях истинной аномалии получались численно равными и противоположными по знаку. Стало ясно, что истина должна находиться где-то посредине этих двух крайностей, а между окружностью и овалом как раз помещался эллипс, соответствующий истинной орбите Марса. Кеплер увидел это, но не придал этому никакого значения. Если бы он просто искал геометрическую кривую, удовлетворяющую данным наблюдений, он, безусловно, поступил бы иначе, и все его поиски закончились бы на этом этапе. Но Кеплер не был удовлетворен, потому что не мог принять гипотезу, не имеющую физического обоснования. А физических причин существования эллиптической орбиты он пока еще привести не мог. Поэтому он продолжал работать с овалом, хотя мысль об эллипсе, по-видимому, подсознательно уже присутствовала в процессе его исследований.
Неотвязная мысль об эллипсе натолкнула его на одно удивительное совпадение. Оказалось, что для ? = 90° разность между расстоянием от Солнца, до Марса в модели эксцентрика и радиусом круга в точности равна боковому сжатию орбиты, т. е. разности между радиусом круга и малой полуосью эллипса, лежащего посредине между кругом и овалом. Такое совпадение вряд ли могло быть случайным, и недаром Кеплер «удивлялся, почему и каким образом появился серп такой толщины (0,00429)». Далее он говорит: «В то время как эта мысль не давала мне покоя и я снова и снова думал о том, что… мой кажущийся триумф над Марсом оказался мнимым, вдруг мое внимание привлек секанс угла 5°18?, который является мерой наибольшего оптического уравнения.[6]
Можно было подумать, что, пробудившись ото сна, Кеплер наконец понял, что эллипс является истинной орбитой. Ничуть не бывало! Раз нет физической основы, эта гипотеза все еще кажется ему неприемлемой, и он продолжает строить овалы. Но все же из этого совпадения Кеплер сделал важный вывод: надо работать с секансами и, следовательно, с проекциями расстояния на соответствующий диаметр эксцентрика. Он называет эти проекции диаметральными расстояниями. Легко видеть, что диаметральное расстояние для эксцентрической аномалии ? = ?GBC есть HG и оно равно 1 + е cos ?. Кеплер уже показал, что площадь есть точная мера суммы диаметральных расстояний. Действительно, для дуги GC сумма диаметральных расстояний есть
а именно этой величине равняется удвоенная площадь сектора GCA. Кеплер также доказал, что для модели деферента с эпициклом, эквивалентной эксцентрику, изменение диаметрального расстояния представляется либрацией (смещением) точки ? по диаметру эпицикла. Зависимость изменения диаметрального расстояния от эксцентрической аномалии описывается в этом случае формулой е?(1—cos?).
К понятию диаметрального расстояния эпицикла
Либрация точки ? по диаметру
«Наконец, после шести лет невообразимых усилий, — восклицает Артур Кёстлер, автор одной из лучших биографий Кеплера, — он нашел секрет марсианской орбиты. Он смог найти формулу, согласно которой изменяется расстояние планеты от Солнца в зависимости от ее положения. В этой простой формуле выражен математический закон природы (имеется в виду выражение для диаметрального расстояния r = l + e?cos ?.— В. К.). Но он все еще не понимал, что именно эта формула и обозначает в точности, что орбитой является эллипс» {5, с. 146}.
Нет ничего удивительного в том, что в этой формуле Кеплер не увидел эллипса. Без знания аналитической геометрии это и нельзя было сделать. И в условиях своего времени Кеплер пошел по вполне оправданному пути: он решил выяснить физическую причину либрации.
Для этого ему пришлось существенно изменить свою модель Вселенной. Под влиянием работ Уильяма Гильберта Кеплер решил, что эксцентрическое движение планет определяется магнитными взаимодействиями, а не загадочными собственными силами планет. Он предположил, что внешняя оболочка каждой планеты вращается вокруг своей оси благодаря наличию замкнутых силовых линий, окружающих планету, при этом ее ось сохраняет свое направление в пространстве вследствие существования другой системы силовых линий, которые параллельны этой оси. Наконец, изменение расстояния от Солнца определяется действием магнитного ядра планеты, ось которого перпендикулярна линии апсид.
Позднее в «Кратком очерке коперниканской астрономии» Кеплер объяснил это действие тем, что Солнце, по его представлению, обладает единственной эффективной полярностью, как если бы одноименный магнитный заряд был равномерно распределен по его поверхности. Удаление и приближение планеты будет в таком случае зависеть от степени взаимодействия ее магнитного ядра с магнитным полюсом Солнца. Степень этого взаимодействия определяется по аналогии со световым или тепловым действием солнечных лучей, падающих на поверхность под углом. Точно так же как нагревание зависит от синуса угла наклона поверхности к направлению луча, синус истинной аномалии будет, по Кеплеру, мерой взаимодействия Солнца с магнитным ядром планеты. Поскольку в аристотелевской физике скорость пропорциональна силе, то смещение планеты вдоль радиуса-вектора, или либрация, в модернизованной записи будет пропорциональна sin ? dt, где ? —истинная аномалия.
Кеплер подставил эксцентрическую аномалию вместо истинной, считая, что разница пренебрежимо мала, и оценил либрацию, подсчитав
(для ? брались целые значения угла в градусах). В нашей записи результат Кеплера гласит, что либрация должна быть пропорциональна интегралу
Получив таким образом, что магнитная гипотеза дает для либрации ту же величину, которую он ранее вычислил исходя из геометрических соображений, он утвердился в истинности своего предположения.
Не следует забывать, однако, что до сих пор Кеплер все еще находился в плену своей гипотезы об овальной орбите. Такая орбита получалась у него и после того, как он пришел к понятию диаметрального расстояния: он откладывал отрезки, равные величине диаметрального расстояния, на радиусе эксцентрика для каждого угла ?, соответствующего рассматриваемому углу ?. Такая процедура казалась ему естественной: ведь когда он пришел к понятию диаметрального расстояния, планета находилась на радиусе, и он это соотношение экстраполировал на все точки орбиты. Получившаяся фигура по форме напоминала яйцо. Кеплер назвал ее via buccosa (bucca — по-латыни надутая щека, следовательно, кривая напоминала по форме овал лица с надутыми щеками). Но, к несчастью, получившаяся овальная орбита давала значения истинной аномалии, которые не соответствовали наблюдениям. Получавшееся расхождение равнялось 5 минутам, и Кеплер был вынужден отказаться и от via buccosa.
Он был в отчаянии. Но вдруг благодаря внезапной вспышке озарения он решил переместить планету с радиуса эксцентрика на перпендикуляр к оси апсид (см. рисунок ), т. е. из точки I в точку F, удаленную от Солнца также на величину диаметрального расстояния. Точка F принадлежит эллипсу, и Кеплер, наконец, понял это. Теперь все встала на свои места. Эллипс вместе с законом площадей дает правильное уравнение, а теория либрации дает для этого уравнения правильные расстояния, причем теория либрации физически обоснована. Сам Кеплер так говорит об этом: «Сама истина и природа вещей, которую я отверг и отбросил, возвратилась тайком с черного хода, изменив внешность, чтобы я ее мог принять. Отказавшись, повторяю, от либрации по диаметру, я начал возвращаться к эллипсу, твердо полагая, что это две совершенно разные гипотезы, в то время как обе они, как я докажу в следующей главе, являются одним и тем же.... Я почти был доведен до сумасшествия расчетами и размышлениями об этом. Я не мог понять, почему планета, всего вероятней, движется по эллиптической орбите. О, я несчастный! Как будто бы либрация по диаметру не может быть эллипсом. Это привело меня к мысли, что эллипс существует вследствие либрации. Рассуждая на основе физических принципов, согласующихся с опытом, приходится сделать вывод, что для орбиты планеты не существует никакой другой формы, кроме правильного эллипса» {6, III, с. 399—400}.
Заключительный этап вывода первого закона Кеплера
Действительно, в главе 59 Кеплер дает доказательство того, что орбита Марса, получающаяся либрацией по диаметру эпицикла, представляет собой правильный эллипс. В процессе этого доказательства он заменяет площади секторов эксцентрика на соответствующие сектора эллипса, применяя, наконец, закон площадей в его истинном виде. (Заметим, что ни в одной из глав «Новой астрономии» закон площадей нигде специально не формулируется. Кеплер понял его фундаментальность много позже, когда сделал его основой для составления «Рудольфинских таблиц». Впервые этот закон был опубликован в 1621 г. в «Кратком изложении коперниканской астрономии».) Однако в этой процедуре замены приближенного закона на точный имеется одна принципиальная трудность. Как мы помним, физика движения планет объясняется Кеплером на основе двух фундаментальных положений: движение планет вокруг Солнца объясняется действием species immateriata, которые толкают планету по круговой орбите; с другой стороны, удаление и приближение планеты, приводящие к эксцентрической орбите, определяются магнитным взаимодействием Солнца и планеты. Но тогда для закона площадей расстояния, измеряющие времена, соответствуют равным делениям дуг эксцентрика, а следовательно, неравным делениям дуг эллипса, в то время как физика species immateriata требует, по-видимому, равных делений эллипса.
Титульный лист «Новой астрономии»
В «Новой астрономии» Кеплер не дает этому никакого объяснения, но позже в «Кратком очерке» все разъясняется. Кеплер указывает, что хотя дуги эллипса неравны, но они эквивалентны равным дугам в том смысле, что также соответствуют равным временам. «Ибо... если орбита планеты разделена на мельчайшие участки, то времена в них увеличиваются пропорционально расстояниям между планетой и Солнцем. Но под этими участками следует понимать не все равные части, но лишь те, которые находятся напротив Солнца на прямой линии, как PC и RG, где имеются прямые углы АРС и ARG. А в случае других частей, которые расположены к Солнцу под косым углом, под ними должно понимать лишь те, которые в каждом из этих участков принадлежат движению вокруг Солнца. Ибо так как орбита планеты является эксцентриком, следовательно, чтобы образовать ее, должны смешаться два элемента движения, как это уже было доказано: один элемент возникает в результате обращения вокруг Солнца вследствие особой солнечной способности, другой возникает из-за либрации по направлению к Солнцу вследствие другой солнечной способности, отличной от первой» {7, VII, с. 429}. Итак, орбитальное движение планет обусловливается, по Кеплеру, суммой двух движений: равномерного движения вокруг Солнца по окружности и движения вдоль радиуса-вектора, или либрации.
Таким образом, убедившись, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в фокусе которых находится Солнце, Кеплер получил тем самым обоснование своего закона площадей. Он вполне справедливо назвал свою книгу «Новая астрономия», подчеркнув в подзаголовке: «основанная на причинах, или небесная физика».
Тем временем публикация написанной книги задерживалась. За шесть лет, проведенных Кеплером в Праге, многое изменилось. В октябре 1601 г. скоропостижно умер Тихо Браге, и Кеплер был вскоре назначен его преемником на посту имперского математика. Перед смертью Тихо завещал ему довести до конца составление «Рудольфинских таблиц» — каталога положений звезд в зависимости от времени, а приказом императора он был назначен попечителем инструментов и рукописей своего предшественника. Однако конфликт с наследниками Тихо оказался серьезным препятствием для публикации не только «Новой астрономии», но и самих наблюдений Тихо. Было условлено, что император Рудольф II выплатит наследникам 20 тыс. талеров за инструменты и журналы наблюдений, а на самом деле он заплатил всего несколько тысяч. В результате Кеплер должен был в каждом случае использования материалов Тихо обращаться к его зятю Тенгнагелю за разрешением. Претензии Тенгнагеля не ограничивались денежными вопросами, он считал возможным вмешиваться и в чисто научные проблемы, не обладая для этого достаточной квалификацией. В течение долгого времени он не давал разрешения на издание «Новой астрономии», аргументируя свой отказ тем, что теоретические построения Кеплера не согласуются с положениями системы Тихо. В конце концов сошлись на компромиссе: Тенгнагель написал предисловие, в котором предупреждал читателя «не смешивать вольности Кеплера, в частности касающиеся физической природы», с результатами самого Браге, и с этим дал разрешение на публикацию. «Новая астрономия» была напечатана в Гейдельберге летом 1609 г.
Можно не сомневаться, что жизнь в чужой стране была тягостна для Кеплера, особенно если учесть его положение религиозного отщепенца. Хотя к нему благоволил император, Кеплер к концу 1608 г. понял, что ситуация в стране неустойчива и что следует подумать о более безопасном прибежище. Весной 1609 г. он отправляется в Германию. Его главной целью в этой поездке было выяснить возможность возвращения на родину, для этого он подал специальное прошение герцогу Вюртембергскому, и к тому же ему просто хотелось снова увидеть родную Швабию, Тюбинген, который он покинул тринадцать лет назад, побывать на книжной ярмарке во Франкфурте и, наконец, в Гейдельберге, где печаталась его книга. Предчувствие не обмануло Кеплера: не прошло и двух лет, как на улицах Праги пролилась кровь, и его благодетель император Рудольф вынужден был отречься от престола.