3

Ошибки механики пизанского периода определялись среди прочего тем, что Галилей не считал падение ускоренным движением и не рассматривал явление ускорения. Но первые годы XVII столетия застают его в Падуе над разработкой именно этих проблем, связанных с ускорением падающего тела. В письме к Паоло Сарпи, относящемся к 1604 г., содержится уже правильный закон падения, выражающий зависимость пути, пройденного падающим телом, от квадрата времени падения. Правда, в этом же письме Галилей указывает, что вывод, сделанный им, основывается на предпосылке, что скорость пропорциональна пройденному пути, что, как мы знаем сегодня, является неправильным. Письмо к Сарпи вместе с тем фактом, что формулировка закона появилась лишь спустя почти 30 лет в «Диалоге», вызвало у исследователей творчества Галилея недоумение, которое пытались прояснить с помощью разных гипотез.

Некоторые историки полагали, что Галилей пришел к закону падения, используя приемы теоретиков Парижской и Оксфордской школ. Действительно, средневековые авторы имели в своем арсенале мертонское правило, которое, как мы помним, можно интерпретировать таким образом, что равноускоренное движение эквивалентно равномерному движению со средней скоростью (при этом равноускоренное движение мыслится начинающимся из состояния покоя, а эквивалентность понимается как равенство путей, пройденных за одинаковое время). Мертонское правило означает тот факт, что в рассматриваемом равноускоренном движении в первую половину времени движения проходится четверть всего пути, т. е. отношение путей, пройденных в первую и вторую половину времени, равно 1:3. Такое соотношение было доказано Оремом, который затем продолжил его до 1, 3, 5, 7, ... и т. д. для равных времен. Все это дало основание Эдварду Гранту утверждать:

«Геометрическое доказательство Орема теоремы о средней скорости и многочисленные ее арифметические доказательства были широко распространены в Европе в течение XIV и XV столетий и были особенно популярны в Италии. Весьма вероятно, что благодаря печатным текстам конца XV и начала XVI вв. они стали хорошо знакомы Галилею. Он сделал теорему о средней скорости первым предложением Третьего Дня в своих „Беседах о двух новых науках", где она служит фундаментом новой науки о движении» [14, с. 246].

Однако оксфордские и парижские теоретики пришли к мертонскому правилу, исходя из представления, что равноускоренное движение является таким движением, в котором скорость получает равные приращения в равные промежутки времени. С другой стороны, как следует из письма к Сарпи, Галилей ошибочно полагал, что скорость пропорциональна пути, а не времени. Поэтому совершенно справедливо замечает Дрейк: «Если предположить, что средневековые авторы были источником работы Галилея, то как объяснить, что он принял и разработал их ранние результаты, в то же самое время отвергая самую основу, из которой они были получены. Точно так же, если он позднее познакомился с сочинениями средневековых авторов, то почему он так и не использовал мертонское правило для доказательства своего предложения ни в своих заметках, ни в своей книге?» [15, с. 85]. Более того, как указывалось ранее, Орем никогда не связывал равноускоренное движение со свободным падением, и ни один средневековый автор не утверждал, что пройденные отрезки пропорциональны квадратам времен, что легко выводимо из прогрессии Орема: 1, 3, 5, 7,...

Другой гипотезой относительно реконструкции создания закона падения Галилеем является предположение, что он пришел к нему чисто математическим путем аналогично тому, как это впоследствии сделал Гюйгенс. Действительно, если принять, что в равноускоренном движении скорость увеличивается в равные промежутки времени на равные величины, то такое правило должно сохраняться для любых равных промежутков времени. А это означает, что в числовой последовательности, которая отображает величину пройденных отрезков пути, отношение первого члена ко второму должно быть таким же, как отношение суммы первых двух членов к сумме следующих двух членов или же как отношение суммы первых трех членов к сумме следующих трех членов и т. д. Другими словами, задача сводится к отысканию такой арифметической прогрессии, для которой отношение предыдущего члена к последующему равняется отношению суммы любого числа предыдущих членов к сумме такого же числа последующих членов. Единственной последовательностью целых чисел, удовлетворяющей этому замечательному свойству, является последовательность 1, 3, 5, 7,...

Наконец, Галилей мог прийти к своему закону чисто случайно в процессе опытов с движением шарика по наклонной плоскости, которые, согласно его книге, он многократно производил.

В действительности, как следует из находки Стиллмана Дрейка, ни одно из этих предположений не оказалось верным: обнаруженный им в Национальной библиотеке Флоренции документ (обозначенный как f 152 тома 72 галилеевских рукописей) свидетельствует, что Галилей при выводе своего закона не ссылался и не использовал ни мертонское правило, ни рассуждения арифметического толка [15, с. 85—92].

В найденном документе, который датируется не позднее октября 1604 г. и представляет лист с заметками Галилея, рассматривается задача об ускоренном движении, в котором величина скорости по прошествии выбранного промежутка времени увеличивается на единицу. В соответствии со средневековым представлением об ускоренном движении Галилей вначале полагает, что нарастание скорости идет не непрерывно, а скачками и по прошествии одной мили скорость возрастает на один градус. Он записывает условие: «4 мили с 10 градусами скорости за 4 часа».

Это означает, что первая миля проходится с одним градусом скорости, вторая — с двумя, третья — с тремя и четвертая — с четырьмя градусами скорости. Отсюда необычная для нас запись характеристики скорости: 1+2+3+4=10 градусов, которая в зависимости от условий задачи может соответствовать различным ускорениям и не представляет собой в нашем сегодняшнем понимании значения скорости по прошествии 4 миль. Время, указанное в условии (4 часа), выбирается им произвольно.

Затем Галилей как бы ставит вопрос: за какое время будет пройдена дистанция в 9 миль с 15 градусами скорости? Сперва он пытается решить задачу с помощью обычных числовых пропорций, но это ему не удается, и тогда он выбирает совершенно иной подход к решению проблемы. Он рисует чертеж, иллюстрирующий процесс падения. Точки А, В и С представляют расстояния, пройденные по вертикальной прямой при падении из состояния покоя, причем АВ предполагается равным 4, а АС — 9. Эти два числа, выбранные Галилеем произвольно, представляют собой квадраты, и не удивительно, что в попытках сопоставить двум числам, каждое из которых является квадратом, третье Галилею приходит на ум число, которое является средним пропорциональным в соответствующей пропорции. В данном случае средним пропорциональным будет 6 (4:6 = 6:9, тогда 6² = 4x9 и 6 = ?(4x9). Если крайние члены пропорции есть квадраты, тогда среднее пропорциональное выразится целым числом. Этот факт, по-видимому, и имел в виду Галилей, когда числам 4 и 9 он поставил в соответствие число 6). И он помещает точку D между В и С так, что AD равно 6. Ему кажется, что такой выбор может решить проблему и 9 миль с 15 градусами скорости будут пройдены за 6 часов.

В данном случае выбор двух квадратов в качестве чисел условия можно считать счастливым совпадением, но следует отметить, что это было в обычае древних и средневековых математиков — практически все задачи решались с помощью числовых примеров, и очень часто в качестве значений выбирались первые числа натурального ряда или их квадраты. Как бы то ни было, Галилею удалось получить правильную зависимость пути от времени для равноускоренного движения: у него получалось, что скорости относятся как 10:15, т. е. как 2:3, в таком же отношении находятся и времена, отсчитываемые с начала падения, — 4:6 = 2:3, откуда следует, что пути относятся как 4:9 = 22:32, т. е. как квадраты времен.

Дрейк приводит по поводу этого результата Галилея слова Джойса: гений не совершает ошибок, его ошибки являются вратами в открытие. И действительно, результат Галилея парадоксален: исходя из того что скорость пропорциональна пути (предположения явно ошибочного), он приходит к заключению (совершенно истинному), что путь пропорционален квадрату времени! Парадокс объясняется замечанием самого Галилея, что вначале он не видел разницы в том, пропорциональна ли скорость пути или скорости, потому что к началу XVII в. еще не было в точности известно, как должна измеряться скорость, и Галилей делал по этому поводу разные предположения. Так, в рассматриваемом документе он оперирует с величиной, которую называет по-латыни gradus velocitatis (то, что мы сегодня обозначили бы через у), а в письме к Сарпи он использует итальянский термин velocita, предполагая, что это v² в нашем сегодняшнем обозначении.

В письме к Сарпи Галилей подчеркивал, что ему известен квадратичный закон зависимости пути от времени, но он не знает неоспоримого принципа, из которого он мог бы этот закон вывести, хотя в промежуток времени, прошедший с момента написания рассматриваемого документа и до письма к Сарпи, Галилей определенно более уверен в правильности своего результата.

Но и с самого начала он видит в соотношении, получившемся благодаря совпадению, общую закономерность — он не ограничивается взятыми наугад двумя значениями пути, а продолжает вниз вертикальную ось и вычисляет, исходя из свойств пропорций, что точки, соответствующие увеличивающимся значениям скорости (а следовательно, и времени, так как в модели Галилея t₁ : t₂ = v₁ : v₂), должны лежать на параболе, имеющей осью начерченную им вертикаль. Таким образом, документ, хранящийся в Национальной библиотеке Флоренции, доказывает, что квадратичная зависимость между временем и путем равноускоренного движения была установлена Галилеем не позднее 1604 г.

Вопрос о том, как и когда Галилей пришел к представлению о параболической траектории движения снаряда, тесно связан с вопросом, какие эксперименты по падению тел Галилей в действительности проводил. Многие исследователи высказывали по этому поводу различные мнения, которые можно суммировать следующим образом: несомненно, что некоторые эксперименты (с маятником, движением на наклонной плоскости) Галилей проводил, что же касается опытов с вертикальным падением тела, то их существование сомнительно; при этом важно отметить, что в его сочинениях нигде не приводится точных экспериментальных данных, а величины, которые упоминаются, например, в «Беседах», являются результатом мысленных экспериментов, не имевших места в действительности.

Особенное недоумение вызывали до самого последнего времени обстоятельства открытия параболической траектории движения снаряда. С одной стороны, когда ученик Галилея Бонавентура Кавальери опубликовал в 1632 г. (в год выхода «Диалога») в своей книге «Зажигательное зеркало» правильный закон движения снаряда, это вызвало у Галилея взрыв возмущения. Он обвинил Кавальери в плагиате, и конфликт был улажен после того, как Кавальери принес свои извинения и признал приоритет Галилея. С другой стороны, во Втором дне «Диалога» он утверждает, что линия, которую описывает свободно падающее тело (брошенное вниз с башни на вращающейся вокруг своего центра Земле), будет полуокружностью, заканчивающейся в центре Земли. Он приходит к такому выводу на основе принципа независимости движений и представления о круговой инерции [16, I, с. 264].

Теперь благодаря исследованиям Дрейка стало возможным прояснить эту загадку. Обнаруженные и проанализированные им заметки Галилея (которые находятся в Национальной библиотеке Флоренции под шифром f114, f116 и f117 тома 72 собрания галилеевских рукописей) неопровержимо доказывают, что Галилей не позднее 1608 г. открыл, что снаряд, пущенный горизонтально, падает по параболе, а в начале 1609 г. доказал это математически, хотя и опубликовал свой результат лишь спустя 30 лет.

Чтобы получить траекторию тела, брошенного горизонтально, ему необходимо было знать, помимо принципа независимости движений, два закона: закон падения и закон инерции. Первый был установлен Галилеем, как мы теперь знаем, в 1604 г. Что касается второго, то точный смысл его Галилею был еще неясен. Как следует из его ранних трактатов, в начале 90-х годов XVI в. он пришел к заключению, что на горизонтальной плоскости в отсутствие трения шар может быть приведен в движение сколь угодной малой силой. Затем он рассудил, что если движение началось, то никаких усилий для его продолжения не требуется (силу приходится прикладывать лишь для преодоления сопротивления), поэтому в принципе шар, движущийся по горизонтальной плоскости, должен двигаться равномерно и бесконечно долго, если, конечно, он не будет встречать сопротивления движению. Таков, по-видимому, был ход мыслей Галилея, предшествовавший экспериментам 1608 г., которые должны были бы подтвердить правильность его концепции, а заодно ответить на вопрос, что случится в отсутствие плоскости, удерживающей шар на горизонтальной поверхности.

Итак, у Галилея созревает план эксперимента: если заставить падать шар, брошенный горизонтально, то, измеряя пройденные им горизонтальные отрезки, можно убедиться в том, является ли движение по горизонтали равномерным; если же результат окажется положительным, это будет веским аргументом в пользу его концепции об инерциальном движении. В начале XVII в. Галилей много времени посвящает исследованию движения на наклонной плоскости, и ему кажется вполне подходящим использовать наклонную плоскость для планируемого эксперимента.

Мы знаем, что время падения тела (если пренебречь сопротивлением) не зависит то того, брошено ли тело отвесно или горизонтально с одной и той же высоты. Следовательно, расстояние, проходимое телом по горизонтали, при прочих равных условиях будет зависеть только от горизонтальной скорости тела в момент начала падения. Разную скорость можно получить при скатывании шара с различной высоты по наклонной плоскости, а горизонтальное направление в конце пути движению шара можно придать с помощью нехитрого направляющего устройства, или дефлектора. Величины горизонтальных скоростей (вернее, их отношения), приобретенных в результате скатывания с различной высоты по одной и той же наклонной плоскости, могут быть подсчитаны из результатов первого измерения при использовании закона свободного падения.

^{Прибор Галилея (реконструкция)}

Реконструкция прибора, который использовал Галилей для своих экспериментов, изображена на рисунке. Основной его частью была деревянная планка с желобом длиной около 2 м, сечением 10x15 см. Планка устанавливалась на столе над утлом 30° к горизонтали, который на 77,7 см возвышался под уровнем пола. С получившейся наклонной плоскости Галилей пускал массивный гладкий шар и отмечал точку его падения на пол. Позднее в «Беседах» он так описывал аналогичный прибор: «Вдоль узкой линейки или, лучше сказать, деревянной доски длиною около двенадцати локтей, шириною пол-локтя и толщиною около трех дюймов был прорезан канал шириною немного больше одного дюйма. Канал этот был прорезан совершенно прямым и, чтобы сделать его достаточно гладким и скользким, оклеен внутри возможно ровным и полированным пергаментом; по этому каналу мы заставляли падать гладкий шарик из твердейшей бронзы совершенно правильной формы» [16, II, с. 253].

Единицей измерения в этих экспериментах Галилею служил пунто, который, как это можно заключить из градуировки шкал пропорционального циркуля, сделанного Галилеем и хранящегося в Музее истории науки во Флоренции, равен 0,938 мм.

Документ f 116 представляет собой запись эксперимента, который Галилей проводил с помощью описанного прибора: он пускал шар по наклонной плоскости с различной высоты, отмеченной им как 300, 600, 800 и 1000 пунти над уровнем стола; в конце движения шар приобретал горизонтальное направление, и для каждой из высот Галилей отмечал точку, в которой шар касался пола. Эти расстояния, отсчитываемые от края стола, он отметил как 800, 1172, 1328 и 1500 соответственно.

Кроме этого, в документе содержится запись расчета, проделанного Галилеем, — он вычислил расстояния, которые шар, падая с различных высот, проходил по горизонтали. Расстояния рассчитывались в предположении, что горизонтальное движение было равномерным при использовании данных первого опыта (800 пунти при падении с высоты 300 пунти), а также квадратичной зависимости пути от времени. Пусть h₁ и h₂ — высоты, с которых шар последовательно скатывается с наклонной плоскости; s₁ — расстояние, пройденное шаром по горизонтали при скатывании с высоты h₁. Для того чтобы вычислить расстояние s₂, соответствующее высоте h₂, поступаем следующим образом.

Согласно Галилею, времена падения шара по вертикали и вдоль наклонной плоскости относятся как высота к длине наклонной плоскости, т. е. t_верт./t_н.п. = h/l. А поскольку опыты производятся на одной и той же наклонной плоскости, то это отношение сохраняется постоянным для всех высот и t₁/t₂ = h₁/h₂ где t₁, t₂ — времена движения шара по наклонной плоскости. Но если шар движется по наклонной плоскости, можно сказать, что он падает вдоль этой плоскости, и согласно закону квадратичной зависимости для пути падения, установленной Галилеем,

v₁²/v₂²=h₁/h₂, (1)

где v₁, v₂ — скорости, которые шар приобретает в конце движения по наклонной плоскости (ибо h ~ t², a v ~ t и h ~ v²). С другой стороны,

s₁/s₂=v₁t/v₂t=v₁/v₂; s₁²/s₂²=v₁²/v₂². (2)

Комбинируя (1) и (2), получаем:

s₁/s₂ = h₁/h₂

и

Вычисленные Галилеем горизонтальные пути для высот, равных 600, 800 и 1000 пунти, оказались равными соответственно 1131, 1306 и 1460 пунти, в то время как его собственный эксперимент дал для этих величин значения 1172, 1328 и 1500 пунти. Столь близкое совпадение данных эксперимента и результатов расчета дало возможность Галилею утверждать впоследствии, что движение по горизонтали сохраняется бесконечно долго и является равномерным. Наряду с вычислениями в документе f 116 содержится рисунок Галилея, изображающий траектории движения шара в его опытах. Без сомнения, эти кривые являются параболами, что подтверждается дальнейшими его записями.

Галилею легко было математически вывести параболическую форму траектории, поскольку он хорошо был знаком с параболами: его деятельность началась с изучения центра тяжести параболоидов вращения. В документе, хранящемся под номером f117 тома 72 его рукописей, приводится такой геометрический вывод: он рисует пересекающиеся горизонтальную и вертикальную прямые, затем откладывает по горизонтали равные отрезки, а по вертикали — отрезки, соответствующие квадратам. Проводя затем соответствующие горизонтальные и вертикальные прямые, он получает точки пересечения, которые и определяют параболу.

Итак, записи Галилея, относящиеся к 1608—1609 гг., дают нам основание утверждать, что к этому времени Галилей вывел теоретически и доказал экспериментально факт движения по параболе для тела, брошенного горизонтально. Подтверждение тому, что Галилей в действительности проводил эксперименты и интерпретация его записей, предложенная Дрейком, справедлива, мы находим в других документах, относящихся к этому же времени.

Дело в том, что данные, полученные Галилеем в одном из опытов, зафиксированных в документе f116, его не удовлетворили. Несколькими годами ранее он теоретически установил правило: если тело движется по наклонной плоскости в течение некоторого времени, а затем, приобретя горизонтальную скорость, падает, то путь, пройденный в свободном падении за то же время по горизонтали, будет вдвое больше первоначального пути вдоль наклонной плоскости. Чтобы проверить это правило, Галилей пускал шар с высоты 828 пунти на наклонной плоскости и отмечал путь, пройденный шаром по горизонтали в свободном падении также с высоты 828 пунти. Так как угол наклона плоскости равнялся 30°, он был вправе ожидать, что, согласно его правилу, путь этот должен был бы быть равен 2x868, т. е. 1656 пунти, однако в опыте он получил значение 1340 пунти (при угле 30° высота вдвое меньше длины наклонной плоскости, следовательно, вдвое меньшее время требуется шару для падения по высоте, чем вдоль плоскости; поэтому, согласно правилу Галилея, при высоте плоскости, равной 828 пунти, шар пройдет по ней расстояние 1656 пунти за вдвое большее время, чем то, за которое он упадет затем на пол с высоты, также равной 828 пунти, пройдя по горизонтали расстояние, также равное 1656 пунти).

Неудовлетворенный расхождением эксперимента (1340 пунти) и теории (1656 пунти), Галилей, по-видимому, приписал его влиянию дефлектора, т. е. закругления, с помощью которого шару придается горизонтальное направление, и решил провести опыты без дефлектора. В действительности ошибка определялась тем, что для тяжелого бронзового шара, который использовался в опытах Галилеем, не справедлива в точности пропорциональность времен отношению высоты и длины наклонной плоскости, так как лишь 5/7 потенциальной энергии шара превращается в кинетическую энергию горизонтального движения, а 2/5 превращается в кинетическую энергию вращения. Но Галилей этого знать не мог и решил обойтись без дефлектора. Запись этих опытов с наклонной плоскостью, где шар, прокатившись по плоскости, падал под углом к горизонту, содержится в документе под номером f114 того же 72 тома галилеевских рукописей, хранящихся в Национальной библиотеке во Флоренции.

В этом отрывке содержится лишь запись экспериментальных данных, так как Галилей еще не знал, как рассчитывается путь, пройденный по горизонтали, для тела, брошенного под углом к горизонту. Галилей приводит лишь ряд цифр, обозначающих величину горизонтального пути, пройденного шаром при падении с различных высот. В 1975 г. Стиллман Дрейк и Джеймс Маклечлан повторили эксперименты Галилея и получили прекрасное совпадение с результатами Галилея [17].

Эти данные убедительно доказывают, что Галилей уделял большое внимание эксперименту, тщательно продумывал опыты и рассматривал эксперимент как необходимое подтверждение теории. Опыты, проведенные им в 1608—1609 гг., послужили экспериментальной основой его представления об инерциальном движении, позволив ему сделать одновременно вывод, что траекторией горизонтально брошенного снаряда является парабола.