ГАМИЛЬТОН

(1805-1865)

Вильям Роуан Гамильтон родился в Дублине в семье присяжного поверенного. Блестящие способности Гамильтона проявились рано: к 14 годам он владел уже 13 языками и изучил Эвклида. Гамильтон поступил в Тринити-колледж в Дублине; однако, даже не окончив его, уже в 1827 г. он стал Королевским астрономом Ирландии. Гамильтон поселился в обсерватории в Дансинке, где и провел бОлыпую часть своей жизни.

Гамильтон был членом многих академий, в том числе и Петербургской. Тридцати лет он стал президентом Королевского общества Ирландии. Значительную часть времени Гамильтон проводил в уединении, изучая главным образом свойства изобретенных им кватернионов — систем гиперкомплексных чисел с некоммутативной алгеброй. Дальнейшее развитие этих понятий, с одной стороны, оказалось интересным для алгебры; с другой стороны, кватернионы привели к созданию векторного и тензорного исчислений, столь необходимых теперь математических инструментов теоретической физики.

Первые исследования Гамильтона касались оптики и были изложены в его работе «Теория систем лучей» (1828). Основное значение для физики и механики имело установление мощного вариационного принципа наименьшего действия и введение функции, называемой теперь гамильтоновой функцией динамической системы Метод Гамильтона, благодаря своей общности, оказался существенным при создании статистической, а затем и квантовой механики. В создании квантовой (волновой) механики большую роль сыграла открытая Гамильтоном глубокая аналогия между поведением луча света и движением частицы, аналогия, которая была ключевой для Л. де Бройля.

Мы приводим введение к его основному мемуару «Общий метод в динампке», опубликованному в 1834 г.

ОБЩИЙ МЕТОД В ДИНАМИКЕ, КОТОРЫМ ДВИЖЕНИЕ ВСЕХ СВОБОДНЫХ СИСТЕМ ПРИТЯГИВАЮЩИХСЯ ИЛИ ОТТАЛКИВАЮЩИХСЯ ТОЧЕК СВОДИТСЯ К ОТЫСКАНИЮ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЮ ОДНОГО ГЛАВНОГО СООТНОШЕНИЯ, ИЛИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Со времени изобретения Галилеем динамики как математической науки и особенно с тех пор, как эту науку так замечательно продолжил Ньютон, теоретическое развитие законов движения тел составляет задачу такой важности и значения, что оно приковывает внимание всех наиболее известных математиков. Среди последователей этих блестящих ученых наверное никто так много не сделал, по сравнению с другими исследователями, для развития и придания гармонии ее выводам, как Лагранж. Лагранж показал, что всю возможную сложность следствий движения системы тел можно получить из одной главной формулы. Красота этого метода так соответствует значимости результатов, что придает его великому сочинению облик научной поэмы. Но в науке о силах, действующих по известному закону в пространстве и времени, произошла новая революция[19]. Эта революция во взглядах придала еще большее значение динамическим принципам нашего понимания, заставив нас полностью отказаться от понятий сплошности и сцепления и тех других материальных связей или воображаемых геометрических условий, которые так счастливо ввел Лагранж. Новая теория все больше стремится свести все связи и действия тел к взаимному притяжению и отталкиванию частиц. Таким образом, в то время как наука продвигается в одном направлении путем развития наших физических представлений, она может продвигаться также и по пути изобретения новых математических методов. Метод, предложенный в настоящем сочинении для теоретического изучения движений притягивающихся и отталкивающихся систем, будет, быть может, принят с благосклонностью как попытка помочь тому, чтобы продвинуть вперед решение этой основной задачи.

Для определения движения свободной точки в пространстве под действием ускоряющих сил обычно используют методы, связанные с интегрированием трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Случай системы многих свободных точек, отталкивающихся или притягивающихся друг к другу, связан уже с интегрированием системы таких уравнений, число которых в три раза больше, чем число взаимодействующих точек, если мы не уменьшили на единицу это число, рассматривая только относительное движение. Так, в солнечной системе, когда мы рассматриваем взаимное притяжение Солнца и десяти известных нам планет, то их движение вблизи Солнца сводится обычными методами к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время. Если же мы применим преобразование Лагранжа, то придем к интегрированию шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для времени и элементов эллиптических орбит. Путем их интегрирования мы найдем тридцать изменяющихся координат или шестьдесят изменяющихся элементов как функций времени.

В методе, который предложен в данном сочинении, эта задача сводится к отысканию и дифференцированию одной функции, удовлетворяющей двум дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. Любую другую задачу динамики, касающуюся движения произвольной системы, какой бы сложной она ни была и из скольких бы притягивающихся или отталкивающихся точек она ни состояла (даже если мы предположим, что эти точки ограничены любыми условиями связи, совместимыми с законом живой силы), мы можем ее свести подобным образом к изучению одной главной функции. Вид этой функции определяется и характеризуется свойствами системы, и ее нахождение связано с парой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, а также и несколькими простыми соображениями. Таким образом, трудность, по крайней мере, переносится с интегрирования многих уравнений одного вида на интегрирование двух уравнений другого вида. Если при этом даже и не получается какое-либо практическое упрощение, то эта возможность дает некоторое интеллектуальное удовлетворение в сведении наиболее сложных задач и, вероятно, всех задач, касающихся сил и движения тел, путем введения одной характеристической функции[20], раскрытию одного главного соотношения.

Данное сочинение не претендует на полноту рассмотрения этого обширного предмета — задачи, которая потребует трудов многих лет и многих умов. Данное сочинение только предлагает эту мысль и указывает этот путь другим. Тем самым этот метод может быть использован для самых разнообразных исследований по динамике. Здесь же он применяется только для орбит и возмущений системы с произвольным законом притяжения или отталкивания с одной главной массой пли центром главной энергии. Это оказывается достаточным для того, чтобы в этом исследовании разъяснить существо принципа. Следует заметить, что этот динамический принцип есть лишь другое выражение той идеи, которая уже была приложена к оптике в «Теории систем лучей». Тогда же при опубликовании этой теории было заявлено о намерении автора применить ее и к движению систем тел. Сама же эта идея и способ ее расчета, которые приложены к оптике и динамике, по-видимому, не ограничены только этими двумя науками, но могут иметь и другие приложения. То особое сочетание вариационного исчисления и частного дифференцирования, которые используются для определения важного класса интегралов, может составить при его дальнейшем развитии в будущих трудах математиков отдельную область анализа.

Обсерватория, Дублин Март 1834 г.