ЭЙЛЕР

(1707—1783)

Леонард Эйлер родился в Базеле в семье пастора. Своим начальным образованием он обязан в значительной мере отцу. Высшее образование Эйлер получил в Базельском университете; там он познакомился с братьями Бернулли. Помимо математики, которую читал их отец, Иоганн Бернулли, Эйлер изучал богословие, восточные языки, физиологию. Когда Эйлеру было 20 лет, по приглашению Екатерины I он прибыл в Петербург в незадолго до этого основанную по указу Петра I Петербургскую Академию наук, где уже работал его друг Даниил Бернулли. В 1741 г. вследствие сложной политической обстановки в России, Эйлер покинул Петербург и переехал в Берлин, став членом Берлинской Академии наук. Однако в 1766 г., по настоянию Екатерины II, Эйлер вернулся в Петербург, где он работал до конца жизни; ныне его прах находится в Ленинградском некрополе.

В жизни Эйлер был скромным и тихим человеком; современники свидетельствуют даже об ограниченности его интересов вне области науки, которая всецело его поглощала. Он был счастливо женат и имел 13 детей, из которых 5 пережили отца. Под конец жизни Эйлер ослеп, но это мало повлияло на его научную продуктивность. Всего им было написано более 800 работ; полное собрание его сочинений — более 80 томов — издается еще до сих пор Швейцарской Академией и Академией наук-СССР. Парижская Академия наук 20 раз удостаивала его премий (на общую сумму около 30 000 ливров), больше, чем кого бы то ни было из современников.

Дать даже краткий обзор научного наследия Эйлера невозможно. Мы отметим его работы по анализу, где он не только придал дифференциальному и интегральному исчислению вид, близкий к современному, но и решил множество частных задач. Замечательное по своей ясности общедоступное изложение современного ему естествознания было дано Эйлером в «Письмах к некой германской принцессе» (племяннице Фридриха II), собранных в трех томах; при жизни Эйлера эти «Письма» издавались более 20 раз практически на всех языках Европы.

Велик был вклад Эйлера в астрономию и прикладную механику. С именем Эйлера связаны основные уравнения движения твердого тела и жидкости. Им было создано вариационное исчисление, и Эйлера по праву можно считать основателем математической физики в современном смысле слова. Его вклад в чистую математику, в такие ее обрасти, как алгебра, теория чисел, геометрия, был очень значителен. Для Эйлера математика была едина: в ней он видел как цель исследований, так и могучий метод решения конкретных задач.

Из всего обширного наследия Эйлера мы приводим предисловия к его «Механике», опубликованной в С.-Петербурге в 1736 г., и к «Введению в анализ бесконечно малых» (1748), сыгравшему исключительную роль в развитии анализа. После первых исследований Ныотона, Лейбница, братьев Бернулли, Лопиталя, основы дифференциального и интегрального исчисления были изложены как единая система.

МЕХАНИКА

Термин «механика» задолго до нашего времени приобрел двоякое значение, и даже теперь этим словом называются две науки, совершенно различные между собой как по своим принципам, так и по предмету своего исследования. Слово «механика» обычно прилагается как к той науке, которая трактует о равновесии сил и их взаимном сравнении, так и к той, в которой исследуется сама природа движения, его происхождение и изменение. Хотя и в этой последней дисциплине главным образом рассматриваются также силы, так как ими производится и изменяется движение, однако метод трактовки этого вопроса сильно отличается от первой науки. Поэтому во избежание всякого недоразумения лучше будет ту науку, в которой рассматривается равновесие сил и их сравнение, называть статикой, другой же науке — науке о движении — дать наименование «механика»; ведь в таком смысле эти термины обычно употреблялись повсюду и раньше.

Кроме того, между этими дисциплинами лежит огромное различие во времени. Если статику стали разрабатывать еще до Архимеда, то первые основы механики заложены только Галилеем, его исследованиями о падении тяжелых тел.

В последнее время, после открытия анализа бесконечно малых, обе эти науки настолько обогатились, что все добытое с таким трудом раньше за столь долгий промежуток времени, можно сказать, почти исчезло сравнительно с этим новым материалом. Однако все эти столь многочисленные открытия, которыми эти науки к нашему времени так сильно обогатились и так далеко продвинулись вперед, рассеяны в столь многочисленных журналах и отдельных работах, что для человека, занимающегося этими вопросами, является делом крайне трудным все это найти и пересмотреть. Кроме того,— что создает особые затруднения,— некоторые из них предложены без всякого анализа и доказательств, другие подкреплены доказательствами, чрезмерно запутанными и составленными по образцу древних, иные, наконец, выведены из чужих и менее естественных принципов, так что понять и объяснить их можно только ценой величайшего труда и огромной потери времени.

Что касается статики, то почти полную и во всех отношениях прекрасную работу издал на французском языке Вариньон в двух солидных томах. Хотя эта работа носит заглавие «Механика», она вся посвящена определению равновесия сил, приложенных к разного рода телам; в ней нет почти ничего, что касалось бы движения и той науки, которую здесь мы назвали механикой. Точно так же известный ученый Вольф в своих «Началах наук», особенно в новейшем их издании, дал много блестящих страниц в «Элементах механики», касающихся как статики, так и механики; но он соединил их вместе и не делал никакого различия между этими двумя науками. Намеченные границы и самый характер произведения, по-видимому, не позволили ему разграничить эти науки между собой и, с другой стороны, достаточно полно изложить каждую из них. Я не знаю, вышла ли в свет какая-либо другая работа, кроме «Форономии» Эрмана, в которой это учение о движении было бы разобрано совершенно отдельно и обогащено столь многими блестящими вновь открытыми положениями. Эрман и сам внес в эту науку много нового; вместе с тем он прибавил и собрал здесь все то, что за это время было открыто стараниями других ученых. Но так как он хотел охватить в этом не очень большом труде, кроме механики, еще и другие смежные науки, а именно статику и гидростатику вместе с гидравликой, то ему оставалось очень мало места для изложения механики; вследствие этого все то, что касается этой науки, он вынужден был изложить в краткой и отрывочной форме. Кроме того,— что особенно мешает читателю,— все это он провел по обычаю древних при помощи синтетически геометрических доказательств и не применил анализа, благодаря которому только и можно достигнуть полного понимания этого предмета. Приблизительно таким же образом написана работа Ньютона «Математические начала натуральной философии», благодаря которой наука о движении получила наибольшее развитие.

Однако, если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом. Это как раз случилось со мной, когда я начал знакомиться с «Началами» Ньютона и «Форономией» Эрмана; хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач, однако задач, чуть отступающих от них, я уже решить не мог. И вот тогда-то я попытался, насколько умел, выделить анализ из этого синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проработать аналитически; благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса. Затем таким же образом я исследовал и другие работы, относящиеся к этой науке, разбросанные по многим местам, и лично для себя изложил их планомерным и однообразным методом и привел в удобный порядок. При этих занятиях я не только встретился с целым рядом вопросов, ранее совершенно не затронутых, которые я удачно разрешил, но я нашел много новых методов, благодаря которым не только механика, но и самый анализ, по-видимому, в значительной степени обогатился. Таким образом и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что нашел у других в их работах о движении тел, так и то, что получил в результате своих размышлений.

В основу разделения этого сочинения я положил как различие тел, которые движутся, так и их состояние — свободное или несвободное Самый характер тел дал мне это разделение, так что сначала я стал исследовать движение тел бесконечно малых и как бы точек, а затем я перешел к телам конечной величины,— и при этом или к твердым, или к гибким, или состоящим из частей, которые совершенно расходятся друг с другом.

Подобно тому как в геометрии, в которой излагается измерение тел, изложение обыкновенно начинается с точки, точно так же и движение тел конечной величины не может быть объяснено, пока не будет тщательно исследовано движение точек, из которых, как мы понимаем, -составлены тела. Ведь нельзя наблюдать и определить движения тела, имеющего конечную величину, не определив сначала, какое движение имеет каждая его маленькая частичка или точка. Вследствие этого изложение вопроса о движении точек есть основа и главная часть всей механики, на которой основываются все остальные части. Для исследования вопроса о движении точек я предназначил эти два первых тома; в первом я рассмотрел свободные точки, во втором — несвободные. Но то, что я изложил в этих книгах, часто идет дальше, чем исследованне об одних точках, и из него зачастую можно определить движение конечных тел,— разумеется, не всякое, а то, благодаря которому отдельные части движутся совместно. Ведь из того положения, что брошенная в пустоте точка описывает параболу, можно также сделать вывод, что всякое конечное тело, если оно будет брошено, должно двигаться по параболе; однако отсюда еще не следует закона о движении отдельных частей, и этот последний вопрос будет специально разобран в следующих книгах, в которых определяется движение конечных тел. Равным образом то, что Ньютон доказал относительно движения тел, побуждаемых центростремительными силами, имеет значение только для точек, а между тем он правильно применил эти предложения также и к движению планет.

Итак, в этом первом томе я подвергаю исследованию свободные точки и наблюдаю, какое изменение движения вызывают в них любые движущие их силы; свободным же, с моей точки зрения, тело является тогда, если ему ничто не мешает, чтобы оно двигалось с той скоростью и в том направлении, которое оно должно иметь как вследствие присущего ему движения, так и вследствие движущих его сил. Так, говорят, что планеты и тела на Земле, падающие или брошенные вверх, движутся свободно, так как при этом движении они следуют как врожденной силе, так и действию движущих сил; напротив, тело, падающее по наклонной плоскости, или качающийся маятник, движется несвободно, так как находящаяся внизу плоскость или нить маятника, прикрепленная другим концом, препятствует телу падать прямо, как этого требует сила тяжести.

В первой главе я излагаю основные свойства движения и то, что обычно говорят о скорости, о пути и о времени. Затем я указываю всеобщие законы природы, которым следует свободное тело, не подверженное действию сил. Тело подобного рода, раз оно находится в состоянии покоя, должно вечно пребывать в покое; если же оно имело движение, оно вечно должно двигаться с той же скоростью по прямому направлению. Оба эти закона наиболее удобно можно представить под именем закона сохранения состояния. Отсюда вытекает, что сохранение состояния является существенным свойством всех тел и что все тела, пока они остаются таковыми, имеют стремление или способность навсегда сохранять свое состояние, а это есть не что иное, как сила инерции. Правда, не очень удачно причине этого сохранения дано имя силы, так как она неравноценна другим собственно так называемым силам, каковы, например, сила тяжести, и с ними не может сравниваться. В эту ошибку обычно впадали многие и прежде всего метафизики, обманутые двусмысленностью этого слова. Так как всякое тело по своей природе пребывает в том же состоянии или покоя, или движения, то если тело не следует этому закону, но движется или неравномерно, или по кривой,— это нужно приписать действию внешних сил. Такого рода внешними силами являются силы, о равновесии и сравнении которых трактуется в статике и которые, воздействуя на тело, изменяют его состояние, или приводя его в движение, или ускоряя, или замедляя, или же, наконец, меняя его направление.

Во второй главе я исследую, какого рода действие должна проявлять каждая сила по отношению к свободной точке, либо находящейся в покое, либо движущейся. Отсюда выводятся истинные принципы механики, которыми должно объяснить все, что касается изменения движения. Так как до сих пор они были подкреплены слишком слабыми доказательствами, я доказал их так, чтобы для всякого было ясно, что они не только достоверны, но с полной необходимостью являются истинными.

Изложив принципы, на основании которых можно понять, каким образом, с одной стороны, сохраняется движение, с другой,— оно возникает или изменяется под влиянием сил, я перехожу к определению и исследованию самого движения тел, как-либо приведенных в движение яри помощи сил. И прежде всего, конечно, я рассматриваю прямолинейное движение как самое легкое для определения; оно возникает, если под действием одной только силы свободная точка либо бывшая в состоянии покоя приводится в движение, либо находящаяся уже в движении, ускоряется или замедляется в направлении действующей силы. Этому исследованию я посвятил третью и четвертую главы. В первой из них я исследую прямолинейное движение в пустом пространстве, во второй—то же прямолинейное движение в так или иначе сопротивляющейся среде. Хотя сопротивление можно свести к собственно так называемым силам, в этом сочинении мне показалось полезным изложить учение об изменении движения отдельно от сопротивления как по примеру других, которые писали по этому вопросу, так и вследствие существенной разницы, которая существует между абсолютными силами и сопротивлением. Ведь абсолютная или собственно так называемая сила имеет определенное, от движения тела не зависящее направление и сверх того одинаково воздействует как на тело, находящееся в движении, так и на тело, находящееся в покое; наоборот, направление сопротивления всегда совпадает с направлением самого движущегося тела и его величина зависит от скорости тела. Хотя в природе не встречается другого сопротивления, кроме того, которое пропорционально квадрату скорости, но я рассмотрел еще некоторые другие виды сопротивлений как для того, чтобы дать решение большего количества задач, касающихся движения в сопротивляющейся среде, так и, главным образом, для того, чтобы иметь случай предложить много прекрасных примеров вычисления.

Наконец, в двух последних главах я рассмотрел криволинейные движения тел, которые возникают, когда направление движущих сил не совпадает с направлением брошенного тела. В этом случае тело постоянно отвлекается от прямого пути и принуждено двигаться по кривой. В пятой главе я изложил подобного рода криволинейное движение в пустоте, в шестой я рассмотрел его же в сопротивляющейся среде. Главные задачи, которые даны в этих главах, заключаются в том, чтобы определить кривую, по которой может двигаться любое брошенное тело, подверженное действию каких угодно сил, и вместе с тем дать скорость тела в отдельных точках этой кривой,— причем как в пустоте, так и в сопротивляющейся среде. Из этих основных предложений возникли тогда и другие, где или по данной кривой, описанной телом, или по тому или иному данному виду движения требуется найти как движущие силы, так и сопротивление. И в этом случае я прежде всего стремился к тому, чтобы охватить все относящиеся сюда задачи, разобранные Ньютоном и другими авторами, и дать настоящие решения на основе аналитического метода. На этом заканчивается первый том, который, равно как и второй, я составил так, чтобы человек, имеющий достаточный опыт в анализе конечных и бесконечных, мог с поразительной легкостью все это понять и все это произведение прочесть без чьей бы то ни было помощи.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Нередко мне приходилось замечать, что большая часть трудностей, на которые наталкиваются в анализе бесконечно малых изучающие математику, возникает от того, что, едва усвоив элементарную алгебру, они направляют свои мысли к этому высокому искусству; вследствие чего они не только как бы остаются стоять на пороге, но и составляют себе превратные представления о той бесконечно малой величине, идея которой призывается на помощь. Хотя анализ бесконечно малых не требует совершенного знания элементарной алгебры и всех сюда относящихся искусств, однако есть много вопросов, разрешение которых важно для подготовки начинающих к более высокой науке и которые, однако, в элементарной алгебре либо пропускаются, либо рассматриваются не достаточно обстоятельно. Поэтому я не сомневаюсь, что содержание этих книг сможет восполнить с избытком указанный пробел. Я приложил старание не только к тому, чтобы пространнее и отчетливее, чем обычно, изложить все, чего безусловно требует анализ бесконечно малых; я рассмотрел также довольно много вопросов, благодаря которым читатели незаметно и как бы сверх ожидания могут освоиться с идеей бесконечного. Много вопросов, разрабатываемых обычно в анализе бесконечно малых, я здесь разрешил при помощи правил элементарной алгебры, чтобы тем лучше выявилась сущность того и другого метода.

Труд этот делится на две книги: в первой из них я охватил то, что относится к чистому анализу, во второй изложено все, что необходимо знать из геометрии, так как анализ бесконечно малых часто излагается так, что одновременно показывается и его приложение к геометрии. В обеих книгах опущены первоначальные элементы, и ведется изложение лишь, того, что либо в других местах вовсе не рассматривается пли рассматривается менее удобно, либо требуется по тем или иным соображениям.

Учение о функциях особенно обстоятельно изложено в первой книге, так как весь анализ бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и их функций. Там показано как преобразование функций, так и разложение их, а также развертывание в бесконечные ряды. Перечисляются многие виды функций, относительно которых речь должна идти преимущественно в высшем анализе. Прежде всего я разделил их на алгебраические и трансцендентные; первые из них образуются из переменных количеств путем алгебраических действий; вторые же составляются иными способами или посредством тех же действий, повторяемых бесконечное множество раз. Алгебраические функции разделяются прежде всего на рациональные и иррациональные; я показываю разложение первых из них как на более простые части, так и на множители; эта операция оказывает весьма большую помощь в интегральном исчислении. Для вторых я указываю способ приведения их к рациональной форме путем удобных подстановок. Развертывание в бесконечные ряды касается в одинаковой степени обоих видов; к трансцендентным функциям оно применяется обычно с огромной пользой, а в какой степени учение о бесконечных рядах расширило высший анализ,— это всем известно.

Поэтому я прибавил несколько глав, где рассматриваются свойства, а также суммы многих бесконечных рядов. Некоторые из них таковы, что вряд ли могли бы быть найдены без помощи анализа бесконечно малых. К рядам этого рода относятся те, суммы коих выражаются или посредством логарифмов, или при помощи круговых дуг [аркусов]; количества эти, будучи трансцендентными, так как они выражаются путем квадратуры гиперболы и круга, по большей части рассматриваются лишь в анализе бесконечно малых. Затем я перехожу от степеней к показательным количествам, представляющим не что иное, как степени с переменными показателями. От преобразований их я перехожу к весьма естественной и богатой идее логарифмов; отсюда не только вытекает, само собой, их весьма обширное применение, но также можно получить все те бесконечные ряды, посредством которых обычно представляются упомянутые количества. Из этого выясняется весьма простой способ составления логарифмических таблиц. Подобным образом я занимался рассмотрением дуг круга; этот род величин хотя и очень отличается от логарифмов, однако связан с ними настолько тесно, что, когда один из них получает мнимый вид, то переходит в другой. Повторив затем из геометрии относящееся к нахождению синусов и косинусов кратных и дробных дуг, я вывел из синуса любой дуги синус и косинус минимальной и как бы исчезающей дуги, и тем самым все свелось к бесконечным рядам. Отсюда, так как исчезающе малая дуга равна своему синусу, а косинус ее равен радиусу, я мог сравнить любую дугу с ее синусом и косинусом посредством бесконечных рядов. Здесь я получил столь разнообразные как конечные, так и бесконечные выражения для количеств этого рода, что исчислению бесконечно малых не придется более широко заниматься исследованием их природы. Подобно тому как логарифмы требуют особого алгоритма, в котором ощущается крайне настоятельная потребность во всем анализе, так и круговые функции я привел к некоторому определенному алгоритму; таким образом, при вычислениях и логарифмы, и сами алгебраические количества могут применяться одинаково удобно. Как велика проистекающая отсюда польза для решения труднейших вопросов, ясно показывают как некоторые главы этой книги, так и весьма многие примеры из анализа бесконечно малых, которые можно было бы привести, если бы они не были уже достаточно известны и не увеличивались в числе с каждым днем.

Это исследование принесло весьма большую помощь при разложении дробных функций на вещественные множители; этот вопрос я рассмотрел подробнее, так как такое разложение совершенно необходимо в интегральном исчислении. Далее я подверг изучению бесконечные ряды, которые возникают из разложения функций этого рода и носят название рекуррентных. Здесь я вывел как их суммы, так и общие члены, а также другие замечательные их свойства; так как к этому привело разложение на множители, то я разобрал и обратную проблему, каким образом произведения многих, даже бесконечного числа, множителей путем перемножения развертываются в ряды. Это не только открывает путь к изучению бесчисленного количества рядов; так как этим способом можно разлагать ряды в произведения из бесконечного числа сомножителей, то я нашел довольно удобные числовые выражения для нахождения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Кроме того, я вывел из того же источника решение многих вопросов, которые могут возникнуть при разбиении чисел на слагаемые; вопросы подобного рода без помощи этих приемов, по-видимому, превышают силы анализа.

Такое разнообразие материала легко могло разрастись на много томов; но я дал все, по мере возможности, настолько сжато, что всюду излагается— весьма, впрочем, ясно — лишь основное; более же подробная разработка предоставляется трудолюбию читателей, дабы они имели на чем упражнять свои силы, чтобы еще шире раздвинуть границы анализа. Не боюсь открыто заявить, что в этой книге не только содержится много совершенно нового, но также указаны источники, откуда можно черпать многие значительные открытия.

Точно так же я поступил и во второй книге, где исследовал вопросы, обычно относимые к высшей геометрии. Однако прежде чем приступить к коническим сечениям, к которым в других курсах обычно сводится вся эта часть, я изложил теорию кривых линий вообще, которая затем могла бы быть с пользой применена для изучения природы каких бы то ни было кривых линий. При этом я не пользуюсь никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии, и показываю, как из этого уравнения можно вывести как вид кривой, так и ее основные свойства. Это особенно важно, как мне кажется, в применении к коническим сечениям, которые до сих пор изучались либо только при помощи геометрии, либо хотя и при помощи анализа, но весьма несовершенным и неестественным путем. Сперва я изложил общие свойства линий второго порядка, исходя из общего уравнения для этих линий; затем подразделил их на роды или виды, руководствуясь тем, имеют ли они ветви, уходящие в бесконечность, или же кривая заключена в конечном промежутке. В первом случае пришлось, сверх того, принять во внимание, сколько ветвей уходит в бесконечность и какова природа каждой из них, а также имеют ли они асимптотические прямые или нет. Так я получил три обычных вида конических сечений, из коих первый — эллипс, целиком заключенный в конечном промежутке, второй — гипербола, имеющая четыре бесконечные ветви, стремящиеся к двум асимптотическим кривым; третьим же видом является парабола, имеющая две бесконечные ветви, у коих отсутствуют асимптоты.

Далее, я сходным образом подверг исследованию линии третьего порядка, которые, изложив их общие свойства, я разделил на 16 родов, отнеся к этим родам все 72 вида, найденные Ньютоном. Самый же метод я настолько отчетливо описал, что деление по родам можно осуществить без труда для каждого из последующих порядков линий. Соответствующий опыт я и проделал применительно к линиям четвертого порядка.

Покончив с этими исследованиями, относящимися к порядку линий, я вернулся к описанию общих свойств всех линий. Я изложил метод определения касательных к кривым, их нормалей, а также и самой кривизны, выражаемой через радиус соприкасающегося круга. Все эти вопросы в настоящее время по большей части решаются с помощью дифференциального исчисления; однако я изложил их здесь только на основе общей алгебры, дабы сделать затем более легким переход от анализа конечных величин к анализу бесконечно малых. Я исследовал также точки перегиба кривых, угловые, двойные и кратные точки и изложил способ, при помощи которого все эти точки могут быть найдены из уравнений без всякого труда. Впрочем, я не отрицаю, что эти вопросы значительно легче разрешаются с помощью дифференциального исчисления. Я коснулся также спорного вопроса об угловой точке второго порядка в случае, когда обе дуги, сходящиеся в угловой точке, имеют кривизну, обращенную в одну и ту же сторону, и изложил этот вопрос так, что впредь он уже не может вызывать каких-либо сомнений.

Затем я прибавил несколько глав, в которых показываю, как найти кривые линии, обладающие заданными свойствами, и, наконец, дал решение ряда задач, касающихся отдельных рассечений круга.

Таковы те отделы геометрии, которые, по-видимому, наиболее полезны для изучения анализа бесконечно малых. В качестве приложения я изложил еще из области стереометрии вычислительную теорию тел и их поверхностей и показал, каким образом природа каждой поверхности мо-. жет быть выражена уравнением с тремя переменными. Разделив затем, подобно линиям, и поверхности на порядки сообразно числу измерений, которые имеют переменные в уравнении, я показал, что в первом порядке содержится только плоская поверхность. Поверхности же второго по-рядка, приняв во внимание части, простирающиеся в бесконечность, я разделил на шесть родов. Подобным же образом может быть произведено, деление и для остальных порядков. Я подверг рассмотрению также и линии пересечения двух поверхностей; так как эти линии по большей части кривые, не лежащие в одной плоскости, я показал, как такие кривые могут быть выражены уравнениями. Наконец, я определил положение касательных плоскостей и прямых, являющихся нормалями к поверхностям.

Впрочем, так как многое, здесь встречающееся, описывалось уже другими, то мне надлежит просить снисхождения в том, что не везде я почтил упоминанием тех, кто до меня работал в этой области. Моей задачей было изложить все как можно короче; история же каждой проблемы сильно увеличила бы объем труда. Однако многие вопросы, решение которых можно найти также в иных местах, здесь разрешены исходя на других принципов; таким образом, немалая часть приходится и на мою долю. Надеюсь, что как это, так особенно и то совершенно новое, что. здесь сообщается, будет принято с благодарностью большинством тех, кто находит вкус в этих занятиях.