ВЕЙЛЬ

(1885-1955)

Гермап Вейль родился в небольшом городке Эльмсхорн вблизи Гамбурга, в семье адвоката. Директором гимназии, где он учился, был двоюродный брат Давида Гильберта; именно в Геттингенский университет, где профессором был Гильберт, поступил в 1904 г. Вейль. Оп учился четыре года, а затем стал приват-доцентом университета. Один год Вейль провел в Мюнхене, у Клейна и Зоммерфельда; однако, женившись в 1913 г., Вейль переехал в Цюрих, где получил кафедру в Высшей федеральной технической школе.

Разносторонний по интересам Вейль интенсивно работал в различных областях математики. Вместе с голландским математиком Броуэром Вейль возглавил так называемое интуиционистское направление в математике, противостоящее формализму Гильберта. Быть может, наибольшее конкретное значение имеют работы Вейля по теории групп и инвариантов. Ныне эта область математики получила исключительное значение дли фивики, когда наиболее общие физические законы мы стремимся связывать со свойствами симметрии частиц, пространства и времени. В физике Вейль работал в области теории относительности и квантовой механики. Владея блестящим литературным стилем, Вейль много писал по методологии науки и философским проблемам естествознания. В 1930 г. Вейль принял кафедру Гильберта в Геттингене. Но это время — время наступления фашизма — было тяжким для него. В 1933 г. Вейль покидает Германию и переезжает в США. Там он становится сотрудником Института перспективных исследований в Принстоне, где уже работали Эйпштейп, Вигнер и Нейман.

В 1951 г. Вейль вернулся в Европу, в Цюрих, и его лебединой песней стала его замечательная популярная книга «Симметрия» (1952). Вскоре после своего 70-летнего юбилея Вейль умер.

Мы приводим предисловие к книге Вейля «Теория групп и квантовая механика» (1928) и предисловие к его итоговой монографии «Классические группы, их инварианты и представления» (1939).

ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

В последнее время все более и более признается важность теоретпко-группового подхода к общим законам квантовой теории. Поскольку в течение ряда лет я был глубоко поглощен теорией представлений непрерывных групп, мне казалось существенным и важным представить отчет о достижениях математиков, работающих в этой области, в виде, соответствующем требованиям квантовой физики. Дополнительный толчок этому дает тот факт, что с чисто математической точки зрения уже невозможно проводить столь резкой грани между конечными и непрерывными группами при обсуждении теории их представлений так, как ято до сих пор делалось. Желание показать на примерах некоторых наиболее важных случаев, как возникающие в теории групп понятия находят свое приложение к физике, привело к необходимости включить короткое введение в основы квантовой физики, поскольку ко времени написания этой книги не было такого изложения, к которому я мог бы отослать читателя. Эта книга, если она достигнет своей цели, должна дать читателю возможность изучить основы теории групп и квантовой механики, так же как и понять отношение, существующее между этими двумя предметами. Математические части книги написаны, имея в виду интересы физика, так же как и обратное. Я специально подчеркиваю «взаимность» между представлениями симметричных групп перестановок и полной линейной группой. Этой зависимостью в физической литературе до сих пор пренебрегали, несмотря на то, что она естественно следует из концептуальной структуры квантовой механики.

Существует, по-моему, четко различимая параллель между современными достижениями математики и физики. Математика Запада за последние века отошла от точки зрения греков и пошла по пути, который, по-видимому, возник в Индии и был затем передан нам, с некоторыми добавлениями, арабами. В этом подходе понятие числа логически предшествует понятиям геометрии. В результате мы систематически прилагаем это далеко развитое понятие о числе ко всем отраслям науки, безотносительно к тому, насколько оно соответствует таким частным приложениям. Однако совремепная тенденция в математике несомненно направлена в сторону возврата к позициям греков. Теперь мы смотрим на каждую отрасль математики, как определяющую собственную область количественных понятий. Современный алгебраист рассматривает континуум вещественных или комплексных чисел лишь как одно «поле» среди многих. Современная аксиоматика проективной геометрии может рассматриваться как соответственное проявление той Яче тенденции в области геометрии. Эта новая математика, включающая современную теорпю групп и «абстрактную алгебру», движется силой, отличной от духа «классической математики», высшее выражение которой мы находим в теории функций комплексного переменного. Континуум вещественных чисел сохранил свою древнюю прерогативу в физике для выражения результатов физических измерений. Но справедливо можно утверждать, что сущность новой квантовой механики Гейзенберга — Шредингера — Дирака заключается в том, что она связывает с каждой физической системой набор величин, составляющих некоммутативную алгебру в точном математическом смысле, элементами которой являются сами физические величины.

Цюрих, август 1928 г.

КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, ИХ ИНВАРИАНТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

С тех пор как мне удалось в 1925 г., комбинируя инфинитезимальныс методы Э. Картана и интегральный метод И. Шура, определить характеры полупростых непрерывных групп, я поставил своей целью вывести главные результаты для наиболее важных из этих групп, в частности, для полной группы невырожденных линейных преобразований и для ортогональной группы, прямым алгебраическим построением. Благодаря, главным образом, работам и сотрудничеству Р. Броуэра в течение последних нескольких лет, я в настоящее время обладаю всеми необходимыми для этого средствами. Задачу можно точно охарактеризовать следующим образом: разложить пространство тензоров заданного ранга на его неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований в полояхениом в основу векторном пространстве. Другими словами, предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся «величин», которые можно приготовить из материала тензоров прп режиме той или иной группы. Такова проблема, образующая один из стержней этой книги, и, в соответствии с алгебраическим подходом, решение ее разыскивается не только в поле вещественных чисел, на котором анализ и физика разыгрывают свои сражения, но и в произвольном поле характеристики нуль. Однако я не пытался охватить поля простой характеристики.

Понятие алгебраического инварианта абстрактной группы у не может быть сформулировано, покуда мы не владеем понятием представления Я группы линейными преобразованиями, или эквивалентным понятием «величины типа St». Поэтому проблема нахождения всех представлений или величин группы у должна логически предшествовать проблеме нахождения алгебраических инвариантов этой группы. (По поводу понятии величин и инвариантов более общего характера и их тесной взаимосвязи отсылаем читателя к главе I, где эрлангенская программа Клейна пересказана в несколько более абстрактных терминах.) Второй моей целью является — дать современное введение в теорию инвариантов. Уже давно пора омолодить классическую теорию инвариантов, впавшую почти в окаменелое состояние. Оправданием тому, что я придерживался значительно более копсервативпого стиля, чем это, вероятно, казалось бы желательным нашему молодому поколению алгебраистов, является нежела-ппе жертвовать прошлым; но даже при этом, надеюсь, я достаточно решительно прокладывал путь к современным концепциям. Я не претендовал на то, чтобы написать монографию по современной теории инвариантов: систематическое руководство должно было бы содержать много вещей, обойденных здесь молчанием.

Как видно из предшествующего описания, предмет этой кпиги довольно специальный. Как бы важны ни были общие понятия и предложения, которыми одарило нас современное деятельное увлечение аксиоматизированием и обобщениями, распространенное в алгебре, быть может, больше, чем в какой бы то ни было другой области,— все же я убежден в том, что именно специальные проблемы во всей их сложности составляют опору и стержень математики; и преодоление их трудностей требует, вообще говоря, наиболее серьезных усилий. Разумеется, линия раздела здесь неопределенна и текуча. Однако общей теории представлений групп совершенно сознательно посвящено едва лп более двух страниц, тогда как применение этой теории к рассматриваемым группам частного вида занимает по крайней мере в пятьдесят раз больше места. Общие теории показаны здесь в их возникновении из специальных проблем, анализ которых приводит к этим теориям как действенному инструменту решения, с почти принудительной необходимостью; но однажды появившись, этп теории освещают широкую область за пределами ограниченного участка их возникновения. В этом духе мы изложим, среди прочих вещей, учение об ассоциативных алгебрах, возвысившееся в последнее десятилетие до руководящего положения в математике.

Связи с другими частями математики подчеркнуты здесь всюду, где к этому представляется случай, и несмотря на алгебраический, в основном, характер книги, не обойдены ни инфинитезимальный, ни топологический методы. Опыт подсказывает мне, что борьба с опасностью слишком сильной специализации и технизации математического исследования особенно важна в Америке. Строгая точность, достижимая математическим мышлением, привела многих авторов к манере изложения, которая должна произвести па читателя такое впечатление, как если бы он был заключен в ярко освещенную камеру, где каждая деталь выделяется с одинаково ослепляющей ясностью, но без рельефности. Я предпочитаю открытый ландшафт под ясным небом с его глубиной перспективы, где обилие отчетливо очерченных близких деталей постепенно сходит на нет по мере удаления к горизонту. В частности, горный массив топологии лежит для этой книги и ее читателя у горизонта, и потому те его части, которые следовало поместить в картину, даны лишь в грубых чертах. От читателя ожидается здесь готовность переключаться на точки зрения, отличные от принятых в алгебраических частях, и добрая воля к сотрудничеству.

Книга предназначена, главным образом, для тех, кто скромно хочет узнать изложенные в ней новые вещи, а не для гордых ученых, уже знакомых с предметом и желающих лишь получить быструю и точную справку о той или иной детали. Она не является ни монографией, ни элементарным учебником. В том же духе составлены и ссылки на литературу.

Боги наложили на мои писания путы чужого языка, не звучавшего у моей колыбели:

«Was dies heissen will, weiss jeder,

Der im Traum pferdlos geritten» [80]

— хотелось бы мне сказать вместе с Готфридом Келлером. Никто более меня не почувствует связанной с этим утраты силы, легкости и ясности выражения. Если, все же, удалось избежать хотя бы грубейших ошпбок, то этим относительным достижением я целиком обязан преданному сотрудничеству моего ассистента, д-ра Альфреда Клиффорда; но еще более ценной, чем лингвистическая, была для меия его математическая критика.

Принстон, Нью-Джерси, сентябрь 1938 г.

БУРБАКИ[81]

Под именем Никола Бурбаки известна группа ученых, доставивших себе целью дать систематическое изложение всей современной математики, следуя аксиоматическому методу. Эта идея, восходящая еще к Давиду Гильберту, была осуществлена в серии монографий «Элементы математики», которая начала выходить с 1939 года. За 30 лет таким образом было написано более 40 книг. Точный состав группы, в которую входят в основном французские математики — главным образом питомцы Нормальной школы, держится в тайне. Одпако представление как об идейных истоках, так и о составе группы Бурбаки можно получить из следующего иронпческого траурного сообщения, разосланного в 1969 г. по ведущим математическим институтам мира в связи с предполагаемым прекращением деятельности этого уникального творческого коллектива. Ниже следует перевод текста, полученного в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР:

"Семейства Кантор, Гильберт, Нётер; семейства Картан, Шеваллье, Дьедонне, Вейль; семейства Брюа, Диксмье, Годеман, Самюэль, Шварц; семейства Демазюр, Дуадн, Жиро, Вердье; семейства, фильтрующиеся вправо, и строгие эпиморфизмы мадемуазели Адель и Идель с прискорбием сообщают о кончине господина Никола Бур-баки, соответственно их отца, брата, сына, внука, правнука и внучатого племенника, почившего в бозе 11 ноября 1968 года в День Победы в своем имении в Нанкаго.

Погребение состоится в субботу 23 ноября 1968 года, в 15 часов, на кладбище Случайных функций (станция метро Марков и Гедель).

Сбор перед баром «У прямых произведений», перекресток Проективных резольвент (бывшая площадь Кошуля).

По воле покойного, мессу в Соборе Богоматери универсальных проблем отслужит Его Преосвященство кардинал Алеф Первый, в присутствии уполномоченных представителей всех классов эквивалентности и слоев замкнутых отображений. Память покойного минутой молчания почтят воспитанники Высших Нормальных школ и Классов Черна.

Цветы, венки и сплетения просьба не возлагать.

«Ибо, Господь есть Александровская компактификация Вселенной» (Евангелие от Гротендика, гл. IV, стр. 22)»“.

Ниже следует введение к первому тому «Элементов математики» — «Теории множеств» (1938), где формулируется точка зрения авторов этого всеохватывающего труда.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Введение

Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство». Некоторые сомневаются даже, что вне математики имеются доказательства, в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой мы хомм придать ему здесь. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в наших глазах; а в эпоху, когда понятие доказательства было под угрозой утраты и математика находилась из-за этого в опасности, образцы искали именно у греков. Однако к столь славному наследию в течение последнего века прибавились новые важные завоевания.

Действительно, анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точка зрения как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке, который содержит лишь небольшое число неизменных «слов», соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным. Запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации и таблица логарифмов »суть формализованные тексты* Формулы обычного алгебраического псчисления т&кже будут формализованными текстами, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от них.

Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимапия, так как единственные возможные источники ошибок — это длпна или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. Напротив, в неформализованном тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Однако в действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, «строгости», доказательства или теории, отнюдь не прибегает к одной из тех полных формализаций, которыми мы сейчас располагаем, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другпмн подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением (быть может, очень тягостным) в терпении. Если, как нередко бывает, возникают сомнения, то в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации — употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Если оставить в стороне последний случай, то непременно рано или поздно сомнения преодолеваются тем, что текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы пе станет излишним. Иными слрвамн, правильность математического текста всегда проверяется более или менее явным сравнением с правилами какого-либо формализованного языка.

Аксиоматический метод, собственно говоря, есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима. Он не является новым изобретением, но его систематическое употребление в качестве инструмента открытий составляет одну из оригинальных черт современной математики. В самом деле, и. при записи, и при чтении формализованного текста совершенно несущественно, приписывается ли словам и знакам этого текста то или ипое значение или даже не приписывается никакого,— важно лишь точное соблюдение правил синтаксиса. Именно поэтому алгебраические вычисления, как знает каждый, могут служить для решения задач о килограммах или о франках, о параболах или о равномерно ускоренных движениях. Таким же преимуществом — и по тем же причинам — обладает и всякий текст, составленный по аксиоматическому методу. Коль скоро теоремы Общей топологии установлены, их можно применять по желанию и к обычному пространству, и к гильбертову, равно как и ко многим другим пространствам. Эта возможность придавать разнообразное содержание словам или первичным понятиям теории составляет вместе с тем важный источник обогащения интуиции математика, которая отнюдь не обязательно имеет пространственную или чувственную природу, как часто думают, а скорее представляет собой некоторое знание поведения математических объектов, часто прибегающее к помощи образов самой различной природы, vio основанное прежде всего на повседневном знакомстве с этими объектами. На таком пути нередко открывалась возможность плодотворного изучения в какой-либо теории свойств, которые в ней по традиции оставались без внимания, но которые систематически изучались в общей аксиоматической теории, охватывающей данную теорию как частную модель (например, свойств, ведущих свое историческое происхождение от другой частной модели этой общей теории). Более того,-— и это нам особенно важно в настоящем Трактате — аксиоматический метод позволяем когда дело касается сложных математических объектов, расчленить пх свойства и перегруппировать эти свойства вокруг немногих понятий, 1. е., если воспользоваться словом, которое далее получит точное определение, он позволяет классифицировать свойства по структурам, которым они принадлежат (одна и та же структура, разумеется, может фигурировать в связи с разными математическими объектами). Так, среди свойств сферы одни являются топологическими, другие — алгебраическими, а третьи могут рассматриваться как относящиеся к дифференциальной геометрии или к теории групп Ли. Каким бы искусственным этот принцип классификации ни становился иногда по мере переплетения структур, именно он лежит в основе распределения по книгам материала, составляющего предмет настоящего Трактата.

Подобно тому как искусство правильно говорить на живом языке существовало еще до грамматики, так и аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков. Однако его сознательное применение может основываться только на знании общих принципов, управляющих этими языками, и их соотношений с обычными математическими текстами. Мы намереваемся в этой книге Трактата дать сначала описание одного такого языка вместе с изложением общих принципов, применяемых ко многим другим подобным языкам. Однако для наших целей будет достаточно лишь одного-единственного языка. В самом деле, если прежде могли думать, что каждая отрасль математики зависит от специфических интуиций, дающих ей первичные понятия и истины, и потому для каждой отрасли необходим с?ой cue-цифический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника — Теории множеств. Таким образом, нам будет достаточно изложить принципы какого-то одного формализованного языка, рассказать, как сформулировать на этом языке Теорию мпожеств, а затем постепенно, по мере того как наше внимание будет направляться на различные отрасли математики, показывать, как они включаются в Теорию множеств. Поступая так, мы не намереваемся давать законы на вечные времена. Может случиться, что когда-нибудь математики согласятся использовать способы рассуждения, не поддающиеся формализации в излагаемом здесь языке. Тогда придется если и не полностью изменить этот язык, то по крайней мере расширить правила синтаксиса. Решение принадлежит будущему.

Само собой разумеется, описание формализованного языка делается на обычном языке, подобно описанию правил игры в шахматы; мы не входим в обсуждение психологических или метафизических проблем, связанных с применимостью обычного языка в таких обстоятельствах (например, возможности опознать, что какая-нибудь буква алфавита является «той же самой» в двух различных местах страницы, и т.д.). Равным образом невозможно выполнить такое описание без того, чтобы не применять нумерацию; хотя строгие умы могли бы почувствовать затруднение при этом и даже найти здесь логическую ошибку, тем не менее ясно, что в данном случае цифры используются лишь как опознавательные метки (впрочем, заменимые другими знаками, например цветами и ли буквами) и что подсчет знаков в выписанной формуле еще не составляет никакого математического рассуждения. Мы не будем обсуждать возможность обучить принципам формализованного языка существа, умственное развитие которых не доходило бы до умения читать, писать и считать.

Если бы формализованная математика была так же проста, как игра в шахматы, то, составив описание выбранного нами формализованного языка, мы должны были бы затем лишь излагать наши доказательства на этом языке, подобно тому как автор шахматного трактата записывает в своей нотации партии, которым он хочет научить, сопровождая пх в случае необходимости комментариями. Однако вопрос решается отнюдь не столь легко, и не требуется большого опыта, чтобы убедиться в абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков для своей полной формализации. Поэтому, уже начиная с книги I настоящего Трактата, возникает настоятельная необходимость сокращать формализованный текст введением новых слов (называемых «сокращающими символами») и дополнительных правил синтаксиса (называемых «дедуктивными критериями») в довольно значительном количестве. Поступая так, мы получаем языки, гораздо более удобные, чем формализованный язык в собственном смысле, и относительно которых любой мало-мальски опытный математик будет убежден, что их можно рассматривать как стенографические транскрипции формализованного языка. Но мы уже не будем иметь увсрепности, что переход от одного из* этих языков к другому может быть сделан чисто мехадичеекдм образом. Чтобы обрести эту уверенность, пришлось бы настолько усложнить правила синтаксиса, управляющие употреблением новых слов, что польза от этих слов стала бы иллюзорной. Здесь, как и в алгебраическом исчислений и при употреблении почти любых обозначений, которыми обычно пользуются математики, удобный инструмент предпочитается другому, теоретически более совершенному, но слишком громоздкому.

Как увидит читатель,-введение этого сжатого языка сопровождается «рассуждениями» особого типа, принадлежащими к так называемой Метаматематике. Эта дисциплина, абстрагируясь полностью от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает эти тексты как особые простые объекты, как собрания некоторых заранее данных объектов, для которых важен лпшь порядок их расположения. И как трактат по химии заранее объявляет результат эксперимента, производимого при данных условиях, так и математические «рассуждения» будут обычно устанавливать, что после некоторой последовательности операций над текстом данного типа окончательный текст будет текстом другого* данного типа. В простейших случаях такие утверждения, по правде говоря, являются чистыми трюизмами (их можно было бы сравнить, например, со следующим утверждением: «Когда в мешке с шарами, содержащем черные шары и шары белые, заменят все черные шары белыми, в мешке останутся только белые шары»). Но очень скоро мы встречаем примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Если выше мы устранили возражение против употребления нумерации при описании формализованного языка, то теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку теперь как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания. На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддающиеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы черпаем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном омысле. Проще, по-видимому, сказать, что можно было бы обойтись без математических рассуждений, если бы формализованная математика была действительно записана: вместо использования «дедуктивных критериев» мы каждый раз вновь начинали бы последовательности операций, которые мы теперь хотим сократить тем, что предсказываем их результат. Но формализованная математика ие может быть записана вся полностью, и потому в конце концов приходится питать доверие к тому, что можпо назвать здравым смыслом математика,— доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле пля численной таблице и которое в конечном счете основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами.

Итак, мы очень скоро покинем формализованную математику, но тем не менее будем заботиться о том, чтобы отмечать дорогу, по которой к ней можно вернуться. Льготы, приносимые первыми же «вольностями речи» такого рода, позволят нам написать остальную часть Трактата (и, в частности, сводку результатов книги I) так, как пишутся на практике все математические тексты, т.е. отчасти обычным языком, отчасти с помощью формул, составляющих частичные формализации, специальные и неполные, из которых алгебраическое исчисление может служить наиболее известным примером. Часто даже мы будем пользоваться обычным языком еще более смело, с произвольно вводимыми вольностями речи, с полным опущением мест, относительно которых предполагается,, что мало-мальски искушенный читатель способен их легко восстановить, с указаниями, не переводимыми на формализованный язык и служащими для облегчения этого восстановительного процесса. Другие места, равно непереводимые, будут содержать комментарии, назначение которых, сделать более ясным развитие идей, с обращением в случае необходимости к интуиции читателя; использование риторических средств становится поэтому законным, лишь бы оставалась неизменной возможность-формализации текста. Первые примеры такого стиля будут даны уже в: этой книге Трактата, в гл. III, излагающей теорию целых и кардинальных чисел.

Итак, написанный по аксиоматическому методу и сохраняющий всюду в виду, как некий горизонт, возможность полной формализации, наш Трактат претендует на полную строгость — претензия, которую не опровергают нп изложенные выше соображения, пи списки опечаток, с помощью которых мы исиравляли и будем исправлять ошибки, время от времени вкрадывающиеся в текст. Благодаря тому, что мы постоянно стараемся держаться настолько близко к формализованному тексту, насколько это представляется возможным без невыносимых длиннот, проверка в принципе легка; ошибки (неизбежные при подобном предприятии) можно обнаружить без больших затрат времени, и риск, что они сделают недействительными главу или целую книгу Трактата, остается весьма незначительным.

В том же реалистическом духе мы рассматриваем здесь вопрос о непротиворечивости — один из вопросов, наиболее занимающих современных логиков и в той или иной мере встающих уже с самого начала*, при создании формализованных языков (см. «Исторический очерк»). Та или иная математическая теория называется противоречивой, если какая—либо теорема доказывается в пей вместе со своим отрицанием. Тогда из обычных правил умозаключения, лежащих в основе правил синтаксиса формализованных языков, можно вывести следствие, что любая теорема одновременно и истинна, и ложна в этой теории, теряющей тем самым всякий интерес. Если, таким образом, мы нечаянно придем к противоречию, то мы не можем оставить его существовать далее, не обесценивая теории, в которой оно возникло.

Можно ли приобрести уверенность, что этого никогда не случится? Не пускаясь по этому поводу в выходящие за пределы нашей компетенции споры о самом понятии уверенности, заметим, что математика может попытаться рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. В самом деле, сказать, что некоторая теория противоречива, сводится к тому, чтобы сказать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением 0=7^0. Но метаматематика может пытаться с помощью способов рассуждения, заимствованных у математики, изучить строение этого формализованного текста, предполагаемого записанным, и в итоге ухитриться «доказать» невозможность такого текста. В самом деле, такие «доказательства» были даны для некоторых частных формализованных языков, менее богатых, чем тот, который мы хотим ввести, но достаточно богатых для того, чтобы на них можно было записать значительную часть классической математики. Можно спросить, правда, что именно «доказывается» таким путем; ведь если бы математика была противоречива, то некоторые ее применения к материальным объектам, и в частности к формализованным текстам, рисковали бы стать иллюзорными. Чтобы избежать этой дилеммы, было бы необходимо, чтобы непротиворечивость формализованного языка можно было «доказать» посредством рассужде-ппй, формализуемых в языке, менее богатом и тем самым более достойном доверия. Но знаменитая теорема математики, принадлежащая Гёделю, говорит, что это невозможно для языка того типа, который мы хотим описать, т.е. для языка, достаточно богатого аксиомами, чтобы допускать формулировку результатов классической арифметики.

С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т.е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) метаматематическая часть рассуждения (ср. гл. 1, § 2, п° 4) настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть ее сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, еще ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда.

Если бы дело и сложилось иначе, то, конечно, замеченное противоречие было бы внутренне присуще самим принципам, положенным в основание Теории множеств, а потому нужно было бы видоизменить эти принципы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми мы наиболее дорожим. И ясно, достичь этого тем болео легко, что применение аксиоматического метода и формализованного языка позволит формулировать эти принципы более четко и отделять от них следствия более определенно. Впрочем, приблизительно это д произошло недавно, когда устранили «парадоксы» Теории: множеств принятием формализованного языка, по существу эквивалентного с описываемым здесь нами. Подобную ревизию следует предпринять и в случае, когда этот язык окажется в свою очередь противоречивым.

Итак, мы верим, что математике суждено выжить ж что никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вслед-ствпо внезапного выявления противоречия; но мы не утверждаем, что ато мнение основано на чем-либо, кроме опыта. Этого мало, скажут некоторые. Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно.