Глава 31. Двоичная система исчисления

ЦЕЛИ

После изучения этой главы студент должен быть в состоянии:

• Описать двоичную систему счисления.

• Перечислить значения разрядов для каждого бита двоичного числа.

• Преобразовывать двоичные числа в десятичные.

• Преобразовывать десятичные числа в двоичные.

• Преобразовывать десятичные числа в двоично-десятичный код.

• Преобразовывать числа в двоично-десятичном коде в десятичные.

Система счисления — это не более, чем код. Для каждой отдельной величины существует приписанный ей символ. Когда код известен, можно выполнять вычисления. Это возможно с помощью арифметики и высшей математики.

Простейшей системой счисления является двоичная. Двоичная система содержит только две цифры — 0 и 1. Эти цифры имеют такое же значение, как и в десятичной системе счисления.

Двоичная система счисления используется в цифровых и микропроцессорных цепях благодаря ее простоте. Двоичные данные представляются двоичными цифрами, называемыми битами. Термин бит означает двоичная цифра (разряд) (binary digit).

31-1. ДВОИЧНЫЕ ЧИСЛА

Десятичная система счисления называется системой с основанием 10, поскольку она использует десять цифр от 0 до 9. Двоичная система — это система с основанием два, поскольку она использует две цифры, 0 и 1. Положение 0 или 1 в двоичном числе показывает их значение в числе и называется значением разряда или его весом. Значения разрядов двоичного числа увеличиваются как степени 2.

Счет в двоичной системе начинается с чисел 0 и 1. Как и в десятичной системе счисления, каждая двоичная цифра отличается от предыдущей на единицу. Сумма единицы и нуля дает единицу, а сумма двух единиц дает нуль, и при этом прибавляется единица в старшем разряде. На рис. 31-1 показана последовательность двоичных чисел, образованная по описанному алгоритму.

Рис. 31-1. Десятичные числа и эквивалентные двоичные числа.

Для определения наибольшего значения, которое может быть представлено данным количеством разрядов с основанием 2, используйте следующую формулу:

Наибольшее число = 2ⁿ — 1,

где n — число битов (или число использованных значений разрядов).

_{ПРИМЕР: два бита могут быть использованы для счета от 0 до 3, так как}

_{2ⁿ - 1 = 2² - 1 = 4–1 = 3.}

_{Четыре бита необходимы для счета от 0 до 15, так как}

_{2ⁿ — 1 = 2⁴ — 1 = 16 — 1 = 15.}

31-1. Вопросы

1. В чем преимущество двоичной системы счисления перед десятичной при использовании в цифровых цепях?

2. Как определить наибольшее значение двоичного числа при заданном числе разрядов?

3. Каково наибольшее значение двоичного числа с:

а. 4 битами,

б. 8 битами,

в. 12 битами,

г. 16 битами.

31-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ

Как установлено, двоичное число представляет собой число с весом каждого разряда. Значение двоичного числа может быть определено суммированием произведений каждой цифры на вес ее разряда. Метод вычисления двоичного числа показан на следующем примере:

_{ПРИМЕР:} 

_{Число 45 является десятичным эквивалентом двоичного числа 101101.}

_{Дробные числа также могут быть представлены в двоичной форме путем размещения двоичных цифр справа от двоичной запятой, так же как и десятичные цифры размещаются справа от десятичной запятой. Все цифры справа от запятой имеют вес, представленный отрицательными степенями 2 или дробными значениями разрядов.}

_{Степень 2 ∙ Значение разряда}

_{2⁵ = 32}

_{2⁴ = 16}

_{2³ = 8}

_{2² = 4}

_{2¹ = 2}

_{2⁰ = 1}

_{десятичная запятая}

_{2^-1 = 1/2¹ = 1/2 = 0,5}

_{2^-2 = 1/2² = 1/4 = 0,25}

_{2^-3 = 1/2³ = 1/8 = 0,125}

_{2^-4 = 1/2⁴ = 1/16 = 0,0625}

_{ПРИМЕР: Определить десятичное значение двоичного числа 111011,011.}

При работе с цифровым оборудованием часто бывает необходимо преобразовывать числа из двоичной системы в десятичную, и наоборот. Наиболее популярный способ преобразования десятичных чисел в двоичные — это последовательное деление десятичного числа на 2, с записью остатка после каждого деления. Остатки, взятые в обратном порядке, образуют двоичное число.

_{ПРИМЕР: Преобразовать 11 в двоичное число последовательным делением на 2. (Самый Младший Разряд).}

_{(1/2 = 0 означает, что 1 не делится на 2, так что 1 является остатком). Десятичное число 11 равно 1011 в двоичной системе.}

_{Этот процесс может быть упрощен путем записи чисел упорядоченным образом, как это показано на примере преобразования 25 в двоичное число.}

_{ПРИМЕР:}

_{Десятичное число 25 равно двоичному числу 11001. Дробные числа преобразовываются по другому: число умножается на 2 и целая часть записывается как двоичная дробь.}

_{ПРИМЕР: Преобразовать десятичную дробь 0,85 в двоичную дробь последовательным умножением на 2.}

_{Умножение на 2 продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Десятичная дробь 0,85 равна 0,110110 в двоичной форме.}

_{ПРИМЕР: Преобразовать десятичное число 20,65 в двоичное число. Разделите 20,65 на целую часть 20 и дробную 0,65 и примените описанные выше методы.}

_{Десятичное 20 — двоичному 10100}

_и

_{Комбинируя два числа, получим} 20,65₁₀ = 10100,1010011₂.

_{Это 12-разрядное число является приближенным, потому что преобразование дроби было прервано после получения 7 разрядов.}

31-2. Вопросы

1. Чему равно значение каждого разряда 8-разрядного двоичного числа?

2. Чему равно значение каждого разряда для 8 разрядов правее десятичной точки?

3. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятичные:

а. 1001;

б. 11101111;

в. 11000010;

г. 10101010,1101;

д. 10110111,0001.

4. В чем состоит процесс преобразования десятичных чисел в двоичные?

5. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоичные:

а. 27;

б. 34,6;

в. 346;

г. 321,456;

д. 7465.

31-3. КОД 8421

Код 8421 — это двоично-десятичный код (ДДК), состоящий из четырех двоичных разрядов. Он используется для представления цифр от 0 до 9. Обозначение 8421 относится к двоичному весу 4 разрядов.

Степени 2: 2³ 2² 2¹ 2⁰

Двоичный вес: 8 4 2 1

Основным достоинством этого кода является то, что он допускает легкое преобразование из десятичной формы в двоичную, и наоборот. Поэтому двоично-десятичный код используется всегда, если не оговорено другое.

Каждая десятичная цифра (от 0 до 9) представляется двоичной комбинацией следующим образом:

Хотя с помощью четырех двоичных разрядов можно представить 16 чисел (2⁴), шесть кодовых комбинаций для чисел, больших 9 (1010,1011,1100, 1101, 1110 и 1111), в коде 8421 не используются.

Для того чтобы выразить любое десятичное число с помощью кода 8421, замените каждую десятичную цифру соответствующим 4-разрядным кодом.

_{ПРИМЕР: Преобразовать следующие десятичные числа в двоично-десятичный код: 5, 13, 124, 576, 8769.}

_{Для преобразования числа из двоично-десятичного кода в десятичную систему, разбейте число на группы по 4 разряда. После этого запишите десятичные цифры, соответствующие каждой 4-разрядной группе.}

_{ПРИМЕР: Преобразуйте числа, записанные двоично-десятичным кодом в десятичную систему: 10010101, 1001000, 1100111, 1001100101001, 1001100001110110.}

Замечание: Если в крайней группе слева не хватает разрядов до четырех, то к ней добавляются нули.

31-3. Вопросы

1. Что такое код 8421 и как он используется?

2. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоично-десятичный код:

а. 17;

б. 100;

в. 256;

г. 778;

д. 8573.

3. Преобразуйте следующие двоично-десятичные коды в десятичные числа:

а. 1000 0010;

б. 0111 0000 0101;

в. 1001 0001 0011 0100;

г. 0001 0000 0000 0000;

д. 0100 0110 1000 1001.

РЕЗЮМЕ

• Двоичная система счисления — это простейшая система счисления.

• Двоичная система счисления содержит две цифры — 0 и 1.

• Двоичная система счисления используется для представления данных в цифровых и компьютерных системах.

• Двоичные данные представляются двоичными разрядами, которые называются битами.

• Термин бит происходит от названия двоичный разряд (binary digit)

• Значение каждого более высокого разряда двоичного числа увеличивается как степень 2.

• Наибольшее число, которое может быть представлено данным количеством разрядов в двоичной системе равно 2ⁿ — 1, где n — количество разрядов.

• Значение двоичного числа может быть определено суммированием произведений каждой цифры на вес ее разряда.

• Дробные числа представляются отрицательными степенями 2.

• Для преобразования десятичного числа в двоичное, десятичное число последовательно делится на 2, и после каждого деления записывается остаток. Эти остатки, расположенные в обратном порядке, образуют двоичное число.

• Код 8421 или двоично-десятичный код используется для представления цифр от 0 до 9.

• Достоинством двоично-десятичного кода является возможность легкого преобразования чисел из десятичной формы в двоичную и наоборот.

Глава 31. САМОПРОВЕРКА

1. Запишите в двоичной форме десятичные числа от 0 до 27.

2. Сколько двоичных разрядов нужно для представления десятичного числа 100?

3. Опишите процесс преобразования десятичного числа в двоичное число.

4. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятичные:

а. 100101,001011;

б. 111101110,11101110;

в. 10000001,00000101.

5. Опишите процесс преобразования десятичных чисел в двоично-десятичный код.

6. Преобразуйте следующие двоично-десятичные коды в десятичные числа:

а. 0100 0001 0000 0110;

б. 1001 0010 0100 0011;

в. 0101 0110 0111 1000.