Следуя за светом

До того как Фейнман отполировал свой революционный метод суммирования квантовых траекторий, обычный способ перевода стандартного в квантовое состоял в замене переменных, таких как позиция и импульс, на математические функции, именуемые «операторами». Они учитывали мгновенные изменения в пространстве и времени – известные, соответственно, как производная по пространственным и временным переменным – в волновой функции, описывающей состояния частиц.

Наиболее важный оператор, именуемый «оператор Гамильтона», состоял из комбинации операторов, представляющих кинетическую и потенциальную энергию. Использование этой функции позволяло применить производные и другие математические операции к волновой функции частицы, чтобы получить, при определенных обстоятельствах, значение ее полной энергии.

В принципе, производная показывает, как некая величина изменяется на бесконечно малом интервале в пространстве или времени. Например, если вы нанесете параметры роста ребенка на карточку, то производная от кривой роста скажет вам, насколько быстро он рос в конкретный момент. Производные требуют локальных измерений (нечто, случающееся в конкретной точке во времени и пространстве) и непрерывности в измерениях (нет резких скачков от значения к значению).

Уравнение Шредингера, построенное на основе оператора Гамильтона, ясно показывает, как изменение волновой функции в пространстве связано с ее изменением во времени. Уравнение включает производные, взятые в данной точке в данный момент времени, и определяет, что будет происходить дальше. Следовательно, как локально определенная процедура, требующая непрерывности от точки к точке, уравнение Шредингера оказалось несовместимым с тем формализмом действия на расстоянии, который развивали Уилер и Фейнман.

Уравнение Дирака, тоже включавшее производные, ничуть не лучше подходило для целей наших героев. Вместо использования отдельных операторов для пространства и времени оно комбинировало их в едином пространстве-времени и заменяло стандартные волновые функции более сложными вариантами, спинорами. Тем не менее, требуя локализации в пространстве-времени, оно плохо подходило к действию на расстоянии.

Фейнман понял, что для квантования теории он должен начать буквально с нуля. Он должен был придумать средства для связывания событий, далеко разнесенных в пространстве-времени. В представлении электромагнетизма, которое существовало в рамках концепции действия на расстоянии, как в квантовой, так и в классической формах, два электрона связывались скорее через свои удаленные взаимодействия, чем посредством физической передачи чего-либо.

Все подходы на основе оператора Гамильтона просто не годились.

Убрав фотоны из собственной теории, Фейнман знал, что не может отказаться от задержки, связанной с ограничением по скорости света. Как установил Эйнштейн, информация путешествует со скоростью света, и нет никакой возможности обойти этот принцип. На пространственно-временной диаграмме точки, представляющие два взаимодействующих электрона, должны принадлежать к одному световому конусу. Электроны будут передавать сигналы друг другу, не важно, вперед или назад по времени, со скоростью света. Следовательно, траектория света предлагала отличный ориентир для того, что произойдет дальше.

Еще с тех времен, когда Фейнман изучал механику и оптику в школе, он был хорошо знаком с принципом минимального времени Ферма. Этот принцип точно предсказывает, как ведет себя свет, и показывает, что кратчайший путь для света через однородную среду – прямая линия, луч. Он же говорит, что при переходе из одной среды в другую луч изгибается под определенным углом, следуя закону преломления.

Можно продемонстрировать, как работает принцип Ферма, показав, как свет путешествует из источника в определенном направлении по всем возможным траекториям. Каждая световая волна имеет фазу, этот термин относится к величине запаздывания в волновом цикле. Если у двух волн одна фаза, их пики и впадины идеально совпадают, если они расходятся на 180 градусов, то пики одной волны совпадают с впадинами другой. Если фазы отличаются на другую величину, то пики и впадины не совпадают и не чередуются, напоминая нечто вроде застежки-молнии с несинхронно расположенными зубцами.

Световые волны, двигающиеся практически одинаковыми маршрутами, обычно мало отличаются по фазе. Если, с другой стороны, две световые волны выбирают разные пути, то временная задержка часто приводит к значительной фазовой разнице. Следовательно, близость траекторий является простейшим способом гарантировать минимальную разность фаз.

Отличие между сходными и разными путями проявляется в процессе интерференции: наложения волн таким образом, что возникает одна-единственная волна. Волны без сдвига фаз, или с малым сдвигом, демонстрируют конструктивную интерференцию, пики и впадины накладываются и формируют более мощную волну. Другая ситуация при разности фаз, близкой к 180 градусам: тут происходит деструктивная интерференция, пики и впадины гасят друг друга, и получается более плоская волна.

Таким образом, две волны, идущие схожими маршрутами, должны интерферировать конструктивно. Волны, идущие различными путями, могут в разной степени отличаться по фазе, поэтому и взаимодействуют они по одному из многочисленных шаблонов, большей частью деструктивных.

Теперь разберемся, где в дело вступает принцип Ферма.

Рассмотрим интерференцию всех волн, представляющих все возможные пути от источника к точке назначения. Те волны, чьи маршруты требуют наименьшего количества времени, почти совпадают по фазе. Следовательно, они интерферируют конструктивно, и результатом становится волна с большей амплитудой (высотой пиков и глубиной провалов). Другие волны, наоборот, гасят друг друга из-за разности фаз, формируют более плоские профили.

Таким образом, путь с наименьшим временем становится наиболее заметным, и мы видим его как луч света.

В классической механике объектам не всегда требуется наименьшее время и/или кратчайший путь, чтобы путешествовать из одной точки в другую. Вы бы удивились, если бы бросили баскетбольный мяч и увидели, что он отправился к кольцу по прямой линии. Подобный объект будет следовать по определенной кривой, по параболе, и здесь придется использовать другой физический принцип, принцип наименьшего действия, чтобы объяснить его поведение.

Действие – это особенная величина, определяемая умножением единиц энергии на время. В отличие от таких переменных как позиция или скорость, которые отличаются от точки к точке и от момента к моменту, она определяется для траектории в целом, от одного события в пространстве и времени до другого.

Действие связано с другой величиной, именуемой «лагранжиан», которая представляет собой разницу между кинетической энергией (энергией движения) и потенциальной энергией (энергией положения) для определенного объекта или набора объектов. Вкратце говоря, действие – это интеграл (сумма) значений лагранжиана для каждого момента времени вдоль определенной траектории.

Когда вы бросаете баскетбольный мяч, например, и тот взлетает в воздух, его кинетическая энергия трансформируется в потенциальную, а значение лагранжиана уменьшается. Когда мяч падает к кольцу, потенциальная энергия превращается в кинетическую, а значение лагранжиана растет. Умножим значения лагранжиана для каждого момента времени на бесконечно малый временной интервал, сложим эти значения, используя интегральное исчисление, и получим значение действия для данной траектории.

Ирландский математик Уильям Гамильтон предложил принцип наименьшего действия. В соответствии с ним объект выбирает траекторию, которая оптимизирует (минимизирует или максимизирует) действие. Обычно минимизирует. Следовательно, если вы рассчитаете действие для каждого возможного пути, которым может двинуться баскетбольный мяч, то наименьшая величина определит настоящую траекторию.

С математической точки зрения высчитывание действий для всех возможных путей и минимизация действия реализуется как набор соотношений, именуемых уравнениями Лагранжа. Они описывают то, как на самом деле движется тело, и в случае с баскетбольным мячом определяют параболическую кривую от рук к кольцу.

Принцип наименьшего действия удивителен тем, что он перестраивает классическую физику на интуитивном базисе. Все во вселенной пытается найти оптимальный путь от старта к финишу, и в этом соревновании побеждают и выживают наиболее выгодные траектории.

Подобно отметкам в школьном дневнике, отражающим плохое или хорошее поведение, действие представляет количественно эффективность каждого пути, выделяя тот, который окажется в данном случае лучшим.

А лучшим оказывается та траектория, которой следует объект в физической реальности.