ИБ Количественные методы

Окружающий человека мир имеет две стороны – качественную и количественную. Качество – это совокупность свойств, указывающих, что представляет собой предмет, чем он является. Количество определяет размеры, величину этого качества. Качество традиционно раскрывается через описание признаков, количество отождествляется с мерой, числом.

Анализируя качество, исследователь определяет, к какому классу уже известных явлений принадлежит данное и в чем его специфика. Затем устанавливает причинно-следственные зависимости между явлениями. Задача количественного анализа сводится к измерению и счету выявленных свойств. Разрешая ее, ищут ответ на вопрос, сколько качества входит в установленную меру.

Освоение мира начиналось с качественного познания. Человек без особых трудностей постигал качественное своеобразие вещей, успешно пользуясь полученными знаниями. Но вскоре практика потребовала выявления у одинаковых в целом вещей различных свойств и сравнения разнокачественных величин по общему свойству, что привело к необходимости измерений и вычислений.

Качественное и количественное в явлениях окружающего мира неразрывно связаны. Оторванное от качества количество, фетишизированное в ущерб количеству качество являются односторонними характеристиками и дают о предмете искривленное, неполное представление.

Педагогическая наука до недавнего времени оставалась на качественном уровне. В ней хорошо просматривается эмпирическая часть, отражающая богатейший материал наблюдений и экспериментов; есть теоретические обобщения, завершающие систематизацию материала. Но нет пока третьей, логической части, характеризующей развитую науку, – математической (структурной). Дополняя качественные представления о своем предмете формализованными обобщениями, педагогическая теория приобретает необходимую строгость и устойчивость.

На пути количественного исследования педагогических явлений стоит немало препятствий. Наверное, самое слабое среди них – традиции. Педагоги, сформировавшиеся на описательной науке, противятся неизвестному количественному подходу. Среди гораздо более крупных «камней преткновения» – природа и характер педагогических явлений. Они неметричны. Точнее, неметричными они нам кажутся, потому что у нас нет пока их измерителей, математический аппарат не приспособлен для анализа явлений такой сложности, как педагогические. Преодолевается это препятствие двумя способами: с одной стороны, попытками представить явления в таком упрощенном виде, который доступен для анализа традиционными математическими методами, с другой – разработкой и применением новых способов формализованного описания.

Необходимо различать два основных направления в использовании количественных методов в педагогике: первое – для обработки результатов наблюдений и экспериментов, второе – для моделирования, диагностики, прогнозирования, компьютеризации учебно-воспитательного процесса. Методы первой группы хорошо известны и достаточно широко применяются. Пальму первенства здесь держит освоенный исследователями статистический метод. В его пределах широко применяются следующие конкретные методики.

Регистрация – выявление определенного качества у явлений данного класса и подсчет количества по наличию или отсутствию данного качества (например, количество успевающих и неуспевающих учеников).

Ранжирование – расположение собранных данных в определенной последовательности (убывания или нарастания зафиксированных показателей), определение места в этом ряду изучаемых объектов (например, составление списка учеников в зависимости от числа пропущенных занятий и т. п.).

Шкалирование – присвоение баллов или других цифровых показателей исследуемым характеристикам. Этим достигается большая определенность. Известны четыре основные градации измерительных шкал:

• шкалы наименований (или номинальные);

• шкалы порядка (или ранговые);

• интервальные шкалы;

• шкалы отношений.

Шкалы наименований – самые «слабые» шкалы. Числа и другие обозначения в них используются чисто символически. Они по сути представляют собой наименования какого-либо класса объектов. Их единственная математическая характеристика – принадлежность: принадлежит ли исследуемый объект к данному классу или нет. Примерами номинальных шкал можно считать классификации по различным признакам – список специальностей, перечисление характеристик обучаемых, наименование причин неуспеваемости и т. д.

В порядковых ( ранговых) шкалах устанавливается порядок следования, отношения «больше» – «меньше», общая иерархия. Примерами их применения служит ранжирование типа «выше ростом», «больше пятерок», «меньше пропусков» и т. д.

«Сильные» шкалы — интервальная и шкала отношений – обладают всеми положительными качествами «слабых» шкал; интервальная при этом предусматривает определенные расстояния между отдельными (двумя любыми) числами на шкале, а в шкале отношений определена еще и нулевая точка (точка отсчета). Шкалы термометров, вольтметров, конечно, «сильные».

Все более мощным преобразующим средством педагогических исследований становится моделирование. Научная модель – это мысленно представленная или материально реализованная система, которая адекватно отображает предмет исследования и способна замещать его так, что изучение модели позволяет получить новую информацию об объекте. Моделирование – это метод создания и исследования моделей. Главное его преимущество – целостность представления информации. Моделирование основывается на синтетическом подходе: вычленяют целостные системы и исследуют их функционирование.

Большинство созданных ныне педагогических моделей относятся к дидактическим. Воспитательные процессы, куда прежде всего необходимо направить гносеологический луч моделирования, исследуются здесь явно недостаточно. Причиной тому – невероятная сложность воспитания, сотни факторов, влияющих на его результаты, а также вполне объяснимый страх перед формализацией, грозящей вылиться в сухую математизированную теорию, приложить которую к реальной практике будет невозможно.

Моделирование в дидактике успешно применяется для решения следующих задач:

• оптимизации структуры учебного материала;

• улучшения планирования учебного процесса;

• управления познавательной деятельностью;

• управления учебно-воспитательным процессом;

• диагностики, прогнозирования, проектирования обучения.

Моделирование, несомненно, метод плодотворный и служит он трем полезным целям:

•  эвристической – для классификации, обозначения, нахождения новых законов, построения новых теорий и интерпретации полученных данных;

•  вычислительной – для решения проблем с помощью моделей;

•  экспериментальной – для эмпирической проверки (верификации) гипотезы с помощью оперирования с теми или иными моделями.

Недостаток моделирования в том, что, несмотря на всю его привлекательность, а также возможность охватить систему в целом, приходится прибегать к условным схемам, вводить много допущений. В результате появляются модели, не имеющие ничего общего с моделируемой действительностью, искажающие ее. Исследовать их – пустая трата времени и сил: нужно сначала доказать истинность модели.

Математизация педагогики несет в себе огромный гносеологический потенциал. Она не только избавляет науку от одностороннего качественного описания, но и позволяет строго ревизовать достигнутое, предоставляя для этого объективные методы проверки и более совершенный язык. Для полного успеха формализации должны быть непременно соблюдены важные условия: ясная непротиворечивая гипотеза, основанная на доказанных наукой положениях; следующая за ней модель, включающая необходимое число переменных; «проигрывание» этой модели, а затем заполнение ее экспериментальными фактами, отшлифованными объективной мерой. Эта последовательность составляет логическую цепочку диалектических переходов от явления к его математическому описанию.

РБ

«Размытые» множества

Для построения формализованных педагогических теорий сегодня используются новейшие разделы математики: матричный и факторный анализы, теория игр, массового обслуживания, управления сложными системами, динамическое программирование, микроанализ. Приведем пример новой математической теории, с которой еще мало знакомы педагоги, но которой, судя по всему, открывается большое будущее именно в педагогике.

Как известно, в педагогике нет категорических утверждений типа «да» – «нет», нет ярко выраженного «черного» и «белого». Вся ее действительность – тысячи полутонов всех оттенков, характеристики, расположенные между не всегда четким минимумом и максимумом. Для описания этой реальности требуется особая математика, где бы фигурировали не грубые дискретные переходы, а плавные изменения: «меньше», «чуть меньше», которые, тем не менее, можно было бы описать на строгом языке, чтобы ЭВМ могла оперировать ими как изменяющимися величинами.

Теория «размытых» множеств разработана более полусотни лет назад американским ученым Л. Заде. На ее языке удается описать довольно аморфные представления, которых так много в педагогике. Например, утверждение «молодой» на языке теории нечетких множеств будет записано так: 0,1/15 + 0,9/20 + 1,0/25 + 0,7/30 + 0,2/40 + 0,1/50. Числа 15, 20, 30, 50 означают возраст. Молодому может быть и 15, и 20, и даже 50. Каждому возрасту «привешены» меры близости. Для 15 лет мера невелика – всего 0,1 так же, как и для 50. Зато для 25 лет она максимальна 1,0. Можно пойти дальше – вычислить утверждение «очень молодой». Оно будет выглядеть так: очень молодой = молодой2 (молодой в квадрате). «Не очень молодой и не очень старый» = (молодой)2 (старый)2. Дряхлый – очень-очень старый = (старый)4.

Алгебра Л. Заде имеет свои правила, с помощью которых происходит объединение и разъединение множеств, концентрация и разложение элементов, уменьшение или увеличение нечеткости. На ее языке удается количественно описывать различные педагогические утверждения.

Попробуем, пользуясь ею, сделать анализ понятий «морально воспитанный» и «морально невоспитанный». Как известно, сформированность этих качеств у человека зависит от многих факторов.

Простейшая связь прослеживается между возрастом и сформированностью моральных качеств. При этом большинство педагогов приходит к выводу, что основные моральные качества человека должны быть на надлежащем уровне сформированы уже к 15-летнему возрасту, т. е. до 9 класса общеобразовательной школы.

Так вот, «морально воспитанный» языком теории нечетких множеств будет записан так: 0,1/1 + 0,2/2 + 0,3/4 + 0,4/4 + 0,5/5 + 0,6/10 + 0,7/12 + 0,8/13 + 0,9/14 + 1,0/15 + 1,0/20 + 1,0/25 + 1,0/35 + 1,0/40 + 1,0/50. Числа 1—50 означают возраст (годы). Числа 0,1–1,0 означают меру близости. Для 1 года эта мера незначительна (всего 0,1). Для 15 лет должна быть максимальной (1,0) и уже не снижаться с возрастом. Если этот фактор (возраст) скорректировать другими факторами, влияющими на моральную воспитанность человека, получим хотя и очень громоздкую, но все же математическую запись процесса. Объем вычислений для современных скоростных ЭВМ не является препятствием. Если мы правильно смоделируем процесс, то получим количественные значения моральной воспитанности учеников на разных этапах формирования этого качества в зависимости от интенсивности влияния разных факторов.