От маятника к контуру

Вначале были колебания…

В «Исторических повествованиях о жизни синьора Галилея, члена Академии деи Линчеи, благородного флорентийца», написанных его учеником, рассказывается о том, как Галилей изучал колебания, наблюдая за раскачиванием тяжелой лампады на подвесе в Пизанском соборе. Временные интервалы Галилей измерял по биению собственного пульса. На этой основе он изобрел хронометр, но сделать его не успел. Эти работы продолжил Христиан Гюйгенс, который провел подробные математические исследования и вывел формулу маятника, вошедшую во все учебники физики. Подобные колебания совершает и масса на упругом подвесе — так называемый «пружинный маятник». В нем кинетическая энергия движущейся массы и потенциальная энергия упругой пружины обмениваются между собой по колебательному закону. Есть много других, похожих случаев, но все это механические колебания.

Колебания в электрических цепях были исследованы позже. В цепях постоянного тока, которыми занимался Г. Ом (см. выше), колебания возникнуть не могли.

Поэтому перенесемся на берега туманного Альбиона в иную лабораторию: к Майклу Фарадею. Здесь весной 1837 г. Чарльз Уитстон — изобретатель «мостовой схемы» — пытался получить искру от термопары. Один спай термопары находился в раскаленной до красна печке, а другой — внутри куска льда. Уитстон безуспешно соединял и разъединял два отходящих провода — искры не было.

Тогда Майкл Фарадей, заявив, что Уитстон все делает не так, провел эксперименты по-своему. Но и ему не повезло — искры по-прежнему не было. И тогда-то третий ученый — американец, приехавший в Англию, взялся довести эксперимент до победного конца. Он быстро намотал провод плотной спиралью на палец, снял спираль с пальца и внутрь ее вставил железный стержень. Благо этого добра в лаборатории Фарадея было предостаточно. Затем он соединил эту спираль с одним из проводов, отходящих от термопары, и заявил, что как только уважаемым коллегам будет угодно, он получит желанную искру. И действительно, все отчетливо увидели искру. Фарадей восхищенно зааплодировал и воскликнул: «Ура, эксперименту янки! Но что же вы такое сделали?»». И Джозефу Генри, а это был именно он, пришлось объяснять самоиндукцию ученому, который всему миру уже был известен как человек, который открыл электромагнитную индукцию.

Катушка индуктивности может сосредотачивать в себе магнитную энергию, а конденсатор — электрическую. Если их соединить между собой, то они могут обмениваться энергией благодаря ее взаимным превращениям, и возможны электромагнитные колебания, аналогичные механическим. Теперь-то до электромагнитных колебаний всего один шаг. Сделаем еще один экскурс в историю.

Уильям Томсон, более известный как знаменитый лорд Кельвин, по введенной им абсолютной шкале температур, в 1853 г. опубликовал работу «О преходящих электрических токах». В этой работе математически исследовалась зависимость разряда заряженного металлического шарика через тонкую проволочку на землю. Томсон рассматривает апериодические (т. е. непериодические) колебания в этой цепи в зависимости от ее параметров: емкости С, индуктивности L и активного сопротивления R. Идеальный случай (когда активное сопротивление R = 0) он не рассматривает, но именно этот случай дает знаменитую формулу для периода свободных колебаний, названную позже формулой Томсона:

«Томсоновским» назвали, также простейший LC-контур, хотя на самом-то деле у него он был всего лишь шариком с проволочкой.

Частота электромагнитных колебаний f и колебаний, распространяющихся в пространстве — электромагнитных волн обратно пропорциональна их периоду

Если принять скорость распространения радиоволн в свободном пространстве равной скорости света с = 3·10⁸ м/с, то не трудно пересчитать частоту f в длину волны λ = c/f, или наоборот,

При проведении этих расчетов надо внимательно следить за применяемыми единицами измерений. Помимо «обычной» частоты, измеряемой в герцах (Гц, Hz), используется также и круговая или циклическая частота

Попробуем дать примерные оценки того, на какую частоту был настроен колебательный контур Томсона в его исторических опытах. Для этого примем, что шар-конденсатор имел диаметр 10 см, а провод имел длину 1 м (сопротивлением пренебрежем). Так вот, в XIX веке единицам измерений еще не давали имен ученых, и в области электростатики была система единиц, по которой емкость измерялась в сантиметрах. Соответственно, в области магнетизма была система единиц, по которой индуктивность также измерялась в сантиметрах. Поэтому в отсутствие диэлектриков и намагничивающихся тел оценки этих параметров можно проводить непосредственно по их геометрическим размерам.

При пересчете на современные единицы 1 сантиметр емкости примерно равен 1 пикофараде, а 1 сантиметр индуктивности 1 наногенри. Таким образом, в приводимом примере L ~= 100 см = 100 нГн = 10^-7 Гн; С ~= 10 см = 10 пФ = 10^-11 Ф. Отсюда, по формуле Томсона, период ~= 2·10 ^-8 с и частота, как обратная величина, составит 5·10^-7 Гц = 50 МГц. Значит, если бы во времена Томсона-Кельвина существовало бы радиовещание, то Лорд, став радиолюбителем и используя свой контур в соответствующем радиоприемнике, мог бы наслаждаться приемом станций УКВ диапазона.

Моделирование колебательных контуров

В компьютерной программе EWB открываем панель  Basic (основные компоненты) и выводим на рабочее поле элементы: индуктивный L1 и емкостной С1. Соединив эти элементы последовательно, образуем последовательный колебательный контур. Возбуждение колебаний в контуре будем проводить от генератора синусоидальных колебаний.

Открыв в программе EWB группу Source (источники) , выберем в ней по пиктограмме  AC Voltage Source (источник переменного напряжения). Для этого источника можно провести необходимую установку параметров (амплитуды, частоты и начальной фазы). Здесь (рис. 66) для источника Е1 выбрана амплитуда 1 В, частота 50 Гц и начальная фаза 0°.

Рис. 66. Окно установки параметров генератора в EWB

Основными характеристиками контура являются амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и фазочастотная характеристика (ФЧХ). Для получения этих характеристик в программе EWB предусмотрен специальный виртуальный прибор: Боде-плоттер.

Соберем схему согласно рис. 67. Исследуемый контур L1C1 подключен к генератору Е1.

Рис. 67. Модель последовательного колебательного контура в EWB

Боде-плоттер выбирается в группе Instruments (инструменты) по пиктограмме . Вход плоттера IN на условном графическом изображении прибора  надо соединить со входом контура, а его выход OUT с источником выходного сигнала (подсобного измерительного резистора R1, вносящего небольшие потери). Для получения частотных характеристик после сборки схемы необходимо вызвать изображение лицевой панели, дважды щелкнув ЛКМ по условному графическому изображению прибора.

По умолчанию, в появившемся полном изображении лицевой панели прибора (см. рис. 68), кнопки (амплитуда) и (логарифмический масштаб) находятся в «утопленном» положении. Для наблюдения АЧХ надо лишь в вертикальной и горизонтальной развертках произвести установки диапазонов моделирования по амплитуде и частоте F (от First — начальное значение) и I (от In — конечное значение), а затем нажать на кнопку, включающую моделирование.

Рис. 68. АЧХ последовательного колебательного контура в EWB

При проведении моделирования частота входного возбуждающего колебания генератора «свиппируется» (последовательно изменяется) в выбранном диапазоне программным путем автоматически.

Далее для наблюдения ФЧХ надо «утопить» кнопку  (фаза) и аналогично предыдущему установить начальное F и конечное I значение фазы, а затем включить моделирование. В результате на экране виртуального схемного прибора получаем вначале АЧХ, а затем ФЧХ (рис. 69).

Рис. 69. ФЧХ последовательного колебательного контура в EWB

Для проведения количественных измерений на этих графиках можно воспользоваться вертикальной визирной линией, перемещаемой из левой части экрана курсором или кнопками с изображением стрелок , находящимися на лицевой панели виртуального схемного Боде-плоттера. Соответствующие отсчеты в цифровой форме для точки пересечения визира с линией графика возникают в нижних окошках лицевой панели прибора (рис. 68, 69).

Программа EWB позволяет получить частотные характеристики, сведенными на один экран. Для этого, после установки диапазонов и проведения моделирования, надо нажать на пиктограмму  Display Graphs (график на дисплее). В результате получатся графики резонансной АЧХ (рис. 70), где Gain — коэффициент усиления, выраженный в децибелах, и ФЧХ (рис. 70), где ^Phase — фазовый угол, выраженный в градусах (Degrees).

Рис. 70. АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура в EWB

В верхней части панели Analysis Graphs имеется набор инструментов для редактирования полученных графиков.

«Пересоединив» катушку и конденсатор, получим параллельный контур (рис. 71).

Рис. 71. Модель параллельного колебательного контура в EWB

Дадим команды на моделирование, аналогично предыдущему случаю, и получим АЧХ и ФЧХ (рис. 72), обратные предыдущим.

Рис. 72. АЧХ и ФЧХ параллельного колебательного контура в EWB

По АЧХ не трудно определить собственную (резонансную) частоту и добротность контура; изменяя параметры элементов контура, можно проследить за изменениями этих характеристик.

Моделирование контура радиоприемника Мастер КИТ NK105

Радиоприемник работает в диапазонах длинных, средних или коротких волн с хорошим качеством звучания и выходной мощностью до 1 Вт. Напряжение питания устройства 9 В. Размеры печатной платы: 38x32 мм. Внешний вид радиоприемника показан на рис. 73. Принципиальная электрическая схема радиоприемника показана на рис. 74.

Рис. 73. Внешний вид радиоприемника Мастер КИТ NK105

Рис. 74. Принципиальная схема радиоприемника Мастер КИТ NK105

Это детекторный радиоприемник прямого усиления сигналов с AM. Нас в нем интересует сейчас входной контур, образованный катушкой на ферритовом стержне с индуктивностью L и конденсатором С2 = 120 pF.

Конденсатор С1 = 1.5 nF служит для емкостной связи с внешней антенной.

Антенна (см. рис. 73) представляет собой ферритовый стержень (диаметром 10x60 мм), на котором размещается подвижная бумажная гильза с контурной катушкой. В зависимости от выбранного диапазона катушка имеет следующее число витков: 10 для КВ, 64 — СВ и 110 — ДВ. Приемник в простейшем варианте является однодиапазонным и однопрограммным.

Настройка на конкретную станцию осуществляется по максимальной громкости приема поворотами антенны в горизонтальной плоскости и перемещениями катушки вдоль стержня. После получения приемлемого результата катушка фиксируется скотчем. Впоследствии приемник может быть доработан введением регулировочного конденсатора и переключателя диапазонов.

Виртуальная модель исследования входного контура в программе EWB показана на рис. 75, а.

Рис. 75. Модель исследования входного контура радиоприемника Мастер КИТ NK105 в программе EWB:

_{а — схема; б — АЧХ}

В схеме, прилагаемой к набору, параметр L не известен. Для его определения есть несколько вариантов. Можно рассчитать индуктивность предварительно зная число витков, геометрические размеры и магнитную проницаемость стержня или по формуле Томсона, задавшись частотой и зная емкость С2. Экспериментально можно определить индуктивность следующим образом. Параллельно ей включается предварительно отградуированный конденсатор переменной емкости C = var. Берется другой радиоприемник, работающий на внешнюю антенну, и точно настраивается на определенную радиостанцию. После этого между антенной и работающим радиоприемником включается контур LC. Варьируя емкость С этого контура, добиваются минимального звучания принимаемой радиостанции. Поскольку АЧХ исследуемого контура будет аналогична ранее приведенной на рис. 72, т. е. он будет работать как фильтр-пробка, то дальнейшим расчетом нетрудно определить искомую индуктивность.

Проведение этих «увлекательных» процедур оставим пытливым читателям. Мы же выберем для моделирования настройку на радиостанцию «Маяк» в СВ-диапазоне, соответственно 546,4 м или 549 кГц. По этой частоте и емкости С2 прикидываем, что величина индуктивности составит порядка 0,7 мГн. Поэтому в виртуальной модели выбираем регулируемую индуктивность с запасом — 1 мГн. Дополнительный резистор R1 позволяет в этой схеме включения выявить резонансную частоту контура. Полученный результат показан на рис. 75, б.